Метод трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Если отрезок $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-<!--\; -\; -->a)+E(f),E(f)=-<!--\; -\; -->\frac{f^{″}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{12}{\left(b-<!--\; -\; -->a\right)}^3.$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)+E(f),\qquad E(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(b-a\right)^{3}.$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной

$\left|E(f)\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{{\left(b-<!--\; -\; -->a\right)}^3}{12}\underset{x\in <!--\; \in \; -->[a,b]}{max}\left|f^{″}(x)\right|$$\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left|f''(x)\right|$

(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).

Составная формулаПравить

 

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  разбивается узлами интегрирования $x_i$$x_{i}$ , $i=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i=0,1,\ldots ,n$ , так что $x_0=a$$x_{0}=a$  и $x_n=b$$x_{n}=b$ , и на каждом из элементарных отрезков $[x_i,x_{i+1}]$$[x_{i},x_{i+1}]$  применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)dx\approx <!--\; \approx \; -->\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}(x_{i+1}-<!--\; -\; -->x_i)=$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {f(x_{i})+f(x_{{i+1}})}{2}}(x_{{i+1}}-x_{{i}})=$ 

$=\frac{f(a)}{2}(x_1-<!--\; -\; -->a)+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(x_i)(x_{i+1}-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1})+\frac{f(b)}{2}(b-<!--\; -\; -->x_{n-<!--\; -\; -->1}).$$={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n-1}{f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).$ 

Формула КотесаПравить

 

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки $x_j=a+jh$$x_{j}=a+jh$ , где $h=(b-<!--\; -\; -->a)/n$$h=(b-a)/n$  — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(x)dx=h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\underset{i=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_i\right)+E_n(f),$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{{i=1}}^{{n-1}}f_{i}\right)+E_{n}(f),$ 

причём для погрешности справедлива оценка

$E_n(f)=-<!--\; -\; -->\frac{f^{″}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{12}(b-<!--\; -\; -->a)h^2.$$E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(b-a)h^{2}.$ 

СвойстваПравить

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. такжеПравить

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

ЛитератураПравить

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.