Формула Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

ФормулировкаПравить

Пусть $X(t)$$X(t)$  — решение уравнения $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{X}=A(t)X$${\dot {X}}=A(t)X$ , где $X,A$$X,A$  — матрицы. Тогда:

$detX=\exp <!--\; \; -->\left({\int <!--\; \int \; -->}_0^{t}trA(s)ds\right)detX(0)$$\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)$ 

ДоказательствоПравить

Можно доказать, что $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{(detX)}=(detX)(tr\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{X}{X}^{-<!--\; -\; -->1})$${\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$  . В доказуемой формуле $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{X}{X}^{-<!--\; -\; -->1}=A(t)$${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ . Таким образом, функция $y(t)=detX(t)$$y(t)=\det X(t)$  удовлетворяет условию $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{(\ln <!--\; \; -->y)}=\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{y}}{y}=trA(t)$${\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ . Поэтому $y(t)=c\exp <!--\; \; -->\left({\int <!--\; \int \; -->}_0^{t}trA(s)ds\right)$$y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ , где $c=y(0)=detX(0)$$c=y(0)=\det X(0)$ .

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.