Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

ФормулировкаПравить

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция $f(x)$$\textstyle f(x)$  непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  и $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\textstyle \Phi (x)$  — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(b)-<!--\; -\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(a)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x){|}_a^b$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Доказательство

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  задана интегрируемая функция $f$$\textstyle f$ .

Зададим произвольное значение $x\in <!--\; \in \; -->\left[a,b\right]$$\textstyle x\in \left[a,b\right]$  и определим новую функцию $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ . Она определена для всех значений $x\in <!--\; \in \; -->\left[a,b\right]$$\textstyle x\in \left[a,b\right]$ , потому что мы знаем, что если существует интеграл от $f$$\textstyle f$  на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ , то существует также интеграл от $f$$\textstyle f$  на $\left[a,x\right]$$\left[a,x\right]$ , где $a⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->b$$a\leqslant x\leqslant b$ . Напомним, что мы считаем по определению

$F(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt=0$$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$  (1)

Заметим, что

$F(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ 

Покажем, что $F$$\textstyle F$  непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ . В самом деле, пусть $x,x+h\in <!--\; \in \; -->\left[a,b\right]$$x,x+h\in \left[a,b\right]$ ; тогда

$F(x+h)-<!--\; -\; -->F(x)=\underset{a}{\overset{(x+h)}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt=\underset{x}{\overset{(x+h)}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$ 

и если $K=sup|f(t)|,a⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->b$$K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$ , то

$|F(x+h)-<!--\; -\; -->F(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->|\underset{x}{\overset{(x+h)}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt|⩽<!--\; ⩽\; -->K|h|\to <!--\; \to \; -->0,h\to <!--\; \to \; -->0$$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0$ 

Таким образом, $F$$\textstyle F$  непрерывна на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  независимо от того, имеет или не имеет $f$$\textstyle f$  разрывы; важно, что $f$$\textstyle f$  интегрируема на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ .

 

На рисунке изображён график $f$$\textstyle f$ . Площадь переменной фигуры $aABx$$\textstyle aABx$  равна $F(x)$$\textstyle F(x)$ . Её приращение $F(x+h)-<!--\; -\; -->F(x)$$\textstyle F(x+h)-F(x)$  равно площади фигуры $xBC(x+h)$$\textstyle xBC(x+h)$ , которая в силу ограниченности $f$$\textstyle f$ , очевидно, стремится к нулю при $h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to 0$  независимо от того, будет ли $x$$\textstyle x$  точкой непрерывности или разрыва $f$$\textstyle f$ , например точкой $x-<!--\; -\; -->d$$\textstyle x-d$ .

Пусть теперь функция $f$$\textstyle f$  не только интегрируема на $\left[a,x\right]$$\left[a,x\right]$ , но непрерывна в точке $x\in <!--\; \in \; -->\left[a,x\right]$$x\in \left[a,x\right]$ . Докажем, что тогда $F$$\textstyle F$  имеет в этой точке производную, равную

$F^{\prime }(x)=f(x)$$\textstyle F'(x)=f(x)$  (2)

В самом деле, для указанной точки $x$$\textstyle x$ 

$\frac{F(x+h)-<!--\; -\; -->F(x)}{h}=\frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt=\frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int <!--\; \int \; -->}}(f(x)+\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(t))dt$${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$  $=\frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dt+\frac{1}{h}\underset{x}{\overset{x+h}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(t)dt=f(x)+o$$={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$  (1) ,$h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to 0$  (3)

Мы положили $f(t)=f(x)+\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(t)$$\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ , а так как $f(x)$$\textstyle f(x)$  постоянная относительно $t$$\textstyle t$ , то $\underset{x}{\overset{x+h}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dt=f(x)h$$\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ . Далее, в силу непрерывности $f$$\textstyle f$  в точке $x$$\textstyle x$  для всякого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\textstyle \varepsilon >0$  можно указать такое $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\textstyle \delta$ , что $\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon$  для $\textstyle |x-t|<\delta$ .

Поэтому

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$ 

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при $h\to <!--\; \to \; -->0$$\textstyle h\to 0$ .

Переход к пределу в (3) при $h\to <!--\; \to \; -->0$$\textstyle h\to 0$  показывает существование производной от $F$$\textstyle F$  в точке $x$$\textstyle x$  и справедливость равенства (2). При $x=a,b$$\textstyle x=a,b$  речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция $f$$\textstyle f$  непрерывна на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$  (4)

имеет производную, равную $f(x):F^{\prime }(x)=f(x),a⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->b$$\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ . Следовательно, функция $F(x)$$\textstyle F(x)$  есть первообразная для $f$$\textstyle f$  на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ .

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  функция $f$$\textstyle f$  имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\textstyle \Phi$  есть произвольная первообразная функции $f(x)$$\textstyle f(x)$  на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ . Мы знаем, что $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)=F(x)+C$$\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$  , где $C$$\textstyle C$  — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве $x=a$$\textstyle x=a$  и учитывая, что $F(a)=0$$\textstyle F(a)=0$ , получим $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(a)=C$$\textstyle \Phi (a)=C$ .

Таким образом, $F(x)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(a)$$\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$ . Но

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=F(b)$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$ 

Поэтому

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(b)-<!--\; -\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(a)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)|\begin{array}{c}x=b\\ \\ x=a\end{array}$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=b\\\\x=a\end{matrix}}$ 

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция $f(x)$$\textstyle f(x)$  интегрируема и имеет первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ , $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\textstyle \Phi (x)$  — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(b)-<!--\; -\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(a)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x){|}_a^b$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная $x^2\sin <!--\; \; -->\frac{1}{x^2}$$x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}$ , дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры^[en]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция $f$$f$  определена на отрезке $[a;b]$$[a;b]$  за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция $F$$F$  называется обобщённой первообразной $f$$f$ , если она:

• Непрерывна на отрезке $[a;b]$$[a;b]$ 
• Во всех точках $[a;b]$$[a;b]$ , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
• Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна $f$$f$ .

Это определение не требует, чтобы производная $F$$F$  равнялась $f$$f$  во всех точках, где $F$$F$  дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть $f$$f$  определена на $[a;b]$$[a;b]$  везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция $f(x)$$\textstyle f(x)$  интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ , $F(x)$$F(x)$  — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=F(b)-<!--\; -\; -->F(a)=F(x){|}_a^b$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a}^{b}$

Доказательство

Так как функция $f$$f$  интегрируема, можно рассмотреть любую последовательность разбиений с отмеченными точками, диаметр которых стремится к нулю. Предел интегральных сумм по ним будет равен интегралу.

Рассмотрим последовательность разбиений отрезка $[a;b]$$[a;b]$  $\{T_n\}$$\{T_{n}\}$  такую, что диаметр разбиения при $n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to +\infty$  стремится к нулю. Включим в каждое из этих разбиений также точки отрезка $[a;b]$$[a;b]$ , в которых $F$$F$  не дифференцируема или её производная не равна $f$$f$ . С этими допольнительными точками разбиения обозначим $T_n^{\prime }$$T_{n}'$ .

Теперь зададим на них отмеченные точки. Фиксируем конкретное разбиение $T_n=\{a=x_0,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n=b\}$$T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ . Тогда, по условию, функция $F$$F$  непрерывна на каждом из отрезков $[x_{i-<!--\; -\; -->1};x_i]$$[x_{i-1};x_{i}]$  и дифференцируема на интервалах $(x_{i-<!--\; -\; -->1};x_i)$$(x_{i-1};x_{i})$ . Условия теоремы Лагранжа соблюдены и, значит, существует такая точка ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i\in <!--\; \in \; -->(x_{i-<!--\; -\; -->1};x_i)$$\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ , что $f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i)(x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1})=F(x_i)-<!--\; -\; -->F(x_{i-<!--\; -\; -->1})$$f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ . Эти точки ${\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}_n=({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)$$\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$  возьмём в качестве отмеченных точек разбиения $T_n^{\prime }$$T_{n}'$ . Тогда интегральная сумма по такому разбиению будет равна $:\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,T_n^{\prime },{\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}_n)=f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1)(x_1-<!--\; -\; -->x_0)+f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2)(x_2-<!--\; -\; -->x_1)+\dots <!--\; \dots \; -->+f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)(x_n-<!--\; -\; -->x_{n-<!--\; -\; -->1})=-<!--\; -\; -->F(x_0)+F(x_1)-<!--\; -\; -->F(x_1)+F(x_2)-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->F(x_{n-<!--\; -\; -->1})+F(x_n)=F(x_n)-<!--\; -\; -->F(x_0)=F(b)-<!--\; -\; -->F(a)$$:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)$  Интегральная сумма каждого из размеченных разбиений (T_n',Xi_n) равна одному и тому же значению, следовательно, и предел этих сумм будет равен этому значению, то есть

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dt=\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,T_n^{\prime },X{i}_n)=F(b)-<!--\; -\; -->F(a)$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n})=F(b)-F(a)$ .

Приведённое доказательство интересно тем, что в нём не использовалась ни одно из свойств интеграла, кроме непосредственно его определения. Однако доказательство формулы Ньютона-Лейбница в классической формулировке оно не даёт: для этого необходимо дополнительно доказать, что любая непрерывная функция интегрируема и имеет первообразную.

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

$\underset{-<!--\; -\; -->1}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{dx}{x^2}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}{|}_{-<!--\; -\; -->1}^1=-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->1=-<!--\; -\; -->2,$$\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{-1}^{1}=-1-1=-2,$  хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции $-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}$$-{\frac {1}{x}}$  не является первообразной (даже обобщённой) для функции $\frac{1}{x^2}$${\frac {1}{x^{2}}}$  на отрезке $[-<!--\; -\; -->1;1]$$[-1;1]$  просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

ИсторияПравить

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

ЗначениеПравить

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно независимо от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл ЛебегаПравить

Функция $F(x):=C+\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt$$F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$  представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции $f(x)$$f(x)$ . Функция $F(x)$$F(x)$  является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега): $f(x)$$f(x)$  абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  тогда и только тогда, когда существует суммируемая на $[a,b]$$[a,b]$  функция $g$$g$  такая, что $f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}g(t)dt$$f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$  при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция $f$$f$  абсолютно непрерывна на $[a,b]$$[a,b]$ , то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{\prime }(t)dt$$f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt$ , где $x\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x\in [a,b]$ .

Некоторые следствияПравить

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу.

Интегрирование по частямПравить

Пусть $f$$f$  и $g$$g$  — абсолютно непрерывные функции на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ . Тогда:

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{\prime }(x)g(x)dx=f(b)g(b)-<!--\; -\; -->f(a)g(a)-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g^{\prime }(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$ .

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

См. такжеПравить

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема арифметики

ЛитератураПравить

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.