Формула Карно

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от произвольной точки плоскости до 3 сторон треугольника и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).

$DG+DH-<!--\; -\; -->DF=R+r$$DG+DH-DF=R+r$

ФормулировкаПравить

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна $R+r$$R+r$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

$\pm <!--\; \pm \; -->DF\pm <!--\; \pm \; -->DG\pm <!--\; \pm \; -->DH=R+r,$$\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,$ 

при правильном выборе знаков.

Другая формулировкаПравить

Формула Карно:

$R+r=k_a+k_b+k_c=\frac{1}{2}(d_A+d_B+d_C),$$R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),$ 

где $k_a,k_b,k_c$$k_{a},k_{b},k_{c}$  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон $a,b,c$$a,b,c$  треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а $d_A,d_B,d_C$$d_{A},d_{B},d_{C}$  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин $A,B,C$$A,B,C$  треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны $a$$a$  треугольника равно:

$k_a=a/(2\mathrm{t}\mathrm{g}<!--\; \; -->A);$$k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);$ 

расстояние от ортоцентра например до вершины $A$$A$  треугольника равно:

$d_A=a/(\mathrm{t}\mathrm{g}<!--\; \; -->A).$$d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).$ 

ЗамечанияПравить

• В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
• Формулу Карно часто называют теоремой Карно.

СледствияПравить

• Японская теорема о вписанном многоугольнике: Если вписанный $n$$n$ -угольник разрезать на $n-<!--\; -\; -->2$$n-2$  треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того, выпуклый $n$$n$ -угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

См. такжеПравить

• Критерий Карно

ЛитератураПравить

• Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. — 1990. — № 7. — С. 54-57.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.