Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон $a,b,c,d$$a,b,c,d$ и полупериметр $p=\frac{a+b+c+d}{2}$$p={\frac {a+b+c+d}{2}}$, то его площадь $S$$S$ выражается формулой: $S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)}.$$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Доказательство

Иллюстрация к доказательству

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABD$$\triangle ABD$ и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BDC$$\triangle BDC$

$S=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->A+\frac{1}{2}cd\sin <!--\; \; -->C.$$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.$

Так как $ABCD$$ABCD$ является вписанным четырехугольником, то $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DAB={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}DCB.$$\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ Следовательно, $\sin <!--\; \; -->A=\sin <!--\; \; -->C$$\sin A=\sin C$:

$S=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->A+\frac{1}{2}cd\sin <!--\; \; -->A$$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A$

$S^2=\frac{1}{4}{\sin }^2<!--\; \; -->A(ab+cd{)}^2$$S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}$

$4S^2=(1-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->A)(ab+cd{)}^2$$4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}$

$4S^2=(ab+cd{)}^2-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->A(ab+cd{)}^2.$$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.$

Записав теорему косинусов для стороны $CB$$CB$ в $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ACB$$\triangle ACB$ и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BDC,$$\triangle BDC,$ получаем:

$a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->A=c^2+d^2-<!--\; -\; -->2cd\cos <!--\; \; -->C.$$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.$

Используем $\cos <!--\; \; -->C=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->A$$\cos C=-\cos A$ ($A$$A$ и $C$$C$ противолежащие), а затем выносим за скобки $2\cos <!--\; \; -->A$$2\cos A$:

$2\cos <!--\; \; -->A(ab+cd)=a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2-<!--\; -\; -->d^2.$$2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.$

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

$4S^2=(ab+cd{)}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2-<!--\; -\; -->d^2{)}^2$$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$16S^2=4(ab+cd{)}^2-<!--\; -\; -->(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2-<!--\; -\; -->d^2{)}^2,$$16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},$

Применим формулу $x^2-<!--\; -\; -->y^2=(x+y)(x-<!--\; -\; -->y)$$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$:

$(2(ab+cd)+a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2-<!--\; -\; -->d^2)(2(ab+cd)-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->b^2+c^2+d^2)$$(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})$

$=((a+b{)}^2-<!--\; -\; -->(c-<!--\; -\; -->d{)}^2)((c+d{)}^2-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->b{)}^2)$$=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})$

$=(a+b+c-<!--\; -\; -->d)(a+b+d-<!--\; -\; -->c)(a+c+d-<!--\; -\; -->b)(b+c+d-<!--\; -\; -->a).$$=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).$

Так как полупериметр $p=\frac{a+b+c+d}{2},$$p={\frac {a+b+c+d}{2}},$

$16S^2=16(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d).$$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)}.$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Вариации и обобщенияПравить

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, $d=0$$d=0$ ).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  $S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->abcd{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},$$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ 

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ , то полусумма двух других углов будет ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$180^{\circ }-\theta$ , и ${\cos }^2<!--\; \; -->({180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})={\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .$ )

Иногда эту более общую формулу записывают так:

$S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}(ac+bd+uv)(ac+bd-<!--\; -\; -->uv)}$$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}$ 

где $u$$u$  и $v$$v$  — длины диагоналей четырёхугольника.

• Роббинс (англ.) доказал, что для любого вписанного многоугольника с $n$$n$  сторонами величина $(4S{)}^2$$(4S)^{2}$  является корнем некоторого многочлена $P$$P$ , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для $n=5$$n=5$  и $n=6$$n=6$ . Другими авторами установлено, что многочлен $P$$P$  можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень $N=N(n)$$N=N(n)$  была равна ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_k$$\Delta _{k}$ , если $n=2k+1$$n=2k+1$  и $2{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_k$$2\Delta _{k}$ , если $n=2k+2$$n=2k+2$ . Здесь

  ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_k=\frac{2k+1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})-<!--\; -\; -->2^{2k-<!--\; -\; -->1}=\underset{j=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(k-<!--\; -\; -->j)(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{j}),$$\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k+1}{j}},$ 

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})=\frac{k!}{j!(k-<!--\; -\; -->j)!}$${\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}$  — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1=1$$\Delta _{1}=1$ , ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2=7$$\Delta _{2}=7$ , ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_3=38$$\Delta _{3}=38$ , ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_4=187,\dots <!--\; \dots \; -->$$\Delta _{4}=187,\dots$  (последовательность A000531 в OEIS) и $N(4)=2$$N(4)=2$ , $N(5)=7$$N(5)=7$ , $N(6)=14$$N(6)=14$ , $N(7)=38,\dots <!--\; \dots \; -->$$N(7)=38,\dots$  (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

$-<!--\; -\; -->16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-<!--\; -\; -->2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2+c^2{d}^2)-<!--\; -\; -->8abcd$$-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd$ 

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что

$16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}$ 

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского

См. такжеПравить

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты

Популярная литератураПравить

• А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литератураПравить

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат. сборник.. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1. — С. 37-39.
• M. Fedorchuk, I. Pak^[en]. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes (англ.) // :en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J. : journal. — 2005. — Vol. 129, no. 2. — P. 371—404. — doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X.