Формула Бине — Коши

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

ФормулировкаПравить

Произведение двух прямоугольных матриц $A$$A$  и $B$$B$  дает квадратную матрицу порядка $m$$m$ , если $A$$A$  имеет $n$$n$  столбцов и $m$$m$  строк, а матрица $B$$B$  имеет $m$$m$  столбцов и $n$$n$  строк. Миноры матриц $A$$A$  и $B$$B$  одинакового порядка, равного наименьшему из чисел $n$$n$  и $m$$m$ , называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы $A$$A$ ) и строках (матрицы $B$$B$ ) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы $AB$$AB$  равен нулю, если $n<m$ , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка $m$$m$ , если $n⩾<!--\; ⩾\; -->m$$n\geqslant m$  (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы $A$$A$  и строк матрицы $B$$B$  с возрастающими номерами $i_1<i_2<\ldots<i_m$ ).

ЗамечанияПравить

• В случае $n<m$  формула $|AB|=0$$|AB|=0$  очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы $AB$$AB$  являются линейными комбинациями столбцов матрицы $A$$A$ , то в случае, когда число столбцов матрицы $AB$$AB$  больше числа столбцов матрицы $A$$A$ , матрица $AB$$AB$ , очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
• В случае $n=m$$n=m$  формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: $|AB|=|A||B|$$|AB|=|A|\,|B|$ .
• В случае $n>m$$n>m$  доказательство формулы Бине — Коши более сложно.

ПримерПравить

Пусть

$A=\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matrix}\right),\quad B =\left(\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matrix}\right).$ 

Тогда

$A\,B=\left(\begin{matrix} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matrix}\right),$ 

и соответствующие миноры имеют вид

$\left|\begin{matrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matrix}\right|$ 

при всех $i<j$ , принимающих значения от $1$$1$  до $n$$n$ .

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,$ 

из которого (в случае, когда все $a_i$$a_{i}$  и $b_i$$b_{i}$  являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:

$(a_1^2+a_2^2+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots <!--\; \dots \; -->+b_n^2)⩾<!--\; ⩾\; -->(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n{b}_n{)}^2.$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.$ 

ЛитератураПравить

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

СсылкиПравить

• Доказательство теоремы (Лекция В.П. Григорьева, МЭИ)