Форма объёма

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть $n$$n$-форма на $n$$n$-мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

СвойстваПравить

• Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
• На многообразии с формой объёма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , дивергенцию векторного поля $X$$X$  можно определить с помощью следующих тождеств:

  $(\mathrm{div}<!--\; \; -->X)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}={\mathcal{L}}_X\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=d(X⌟<!--\; ⌟\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$ 

где ${\mathcal{L}}_X$${\mathcal {L}}_{X}$  обозначает производную Ли по $X$$X$ , $d$$d$  — внешний дифференциал, а $X⌟<!--\; ⌟\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$X\;\lrcorner \;\omega$  — операцию подстановки $X$$X$  в $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ .

ПримерыПравить

• На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.

• Симплектическое многообразие $(M,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(M,\omega )$  размерности $2\cdot <!--\; \cdot \; -->n$$2{\cdot }n$  имеет естественную форму объёма ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}$$\omega ^{{\wedge n}}$ .

• Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как

  $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\sqrt{|g|}\cdot <!--\; \cdot \; -->d{x}^1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->d{x}^n$$\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$ 

где $|g|$$|g|$  — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.