Форма Киллинга

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

ИсторияПравить

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана».

ОпределениеПравить

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  над полем $K$$K$ . Каждый элемент $x$$x$  из $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  определяет эндоморфизм ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:<!--\; :\; -->\mathfrak{g}\to <!--\; \to \; -->\mathfrak{g}$$\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:<!--\; :\; -->z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->[x,z],$$\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],$ 

где $[\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->]$$[{*},{*}]$  — скобка Ли. Предположим, что $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

$B(x,y)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y)$$B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})$ 

со значениями в $K$$K$ . Эта форма $B$$B$  и называется формой Киллинга на $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$ .

СвойстваПравить

• Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
• Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть

  $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$$B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$ 

где $[\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->]$$[{*},{*}]$  — скобка Ли.

• Если $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  пропорциональна форме Киллинга.
• Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть

  $B(s(x),s(y))=B(x,y)$$B(s(x),s(y))=B(x,y)$ 

где $s\in <!--\; \in \; -->Aut(\mathfrak{g})$$s\in Aut({\mathfrak {g}})$ .

• В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с $B$$B$  в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.

• Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
• Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
• Если $I$$I$  и $J$$J$  — два идеала в алгебре Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  с нулевым пересечением, тогда $I$$I$  и $J$$J$   образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
• Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
• Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.

См. такжеПравить

• Инвариант Казимира