Факторизационное тождество

Факторизационное тождество- тождество, определяющее свойство характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы.

ФормулировкаПравить

Для характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы при $|z|<1$  , $Im\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0$$Im\lambda =0$  справедливо тождество: $1-z\phi (\lambda )=[1-M(e^{i\lambda \chi _{+}^{0}}z^{\eta _{+}^{0}});\eta _{+}^{0}<\infty ]D^{-1}(z)[1-M(e^{i\lambda \chi _{-}^{0}}z^{\eta _{-}^{0}});\eta _{-}^{0}<\infty ]$ , где $D(z)=1-M(z^{\eta _{+}^{0}});\chi _{+}^{0}=0,\eta _{+}^{0}<\infty )=1-M(z^{\eta _{-}^{0}});\chi _{-}^{0}=0,\eta _{-}^{0}<\infty )$ .

ПоясненияПравить

В формулировке теоремы $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=M{e}^{i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$\phi (\lambda )=\phi _{\xi }(\lambda )=Me^{i\lambda \xi }$  - характеристическая функция последовательности $\mathcal{f}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k\mathcal{g}$${\mathcal {f}}\xi _{{k}}{\mathcal {g}}$  независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим $S_n=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,S_0=0$$S_{{n}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}\xi _{{k}},S_{{0}}=0$ . Случайная величина ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{+}^0=min\mathcal{f}k⩾<!--\; ⩾\; -->1:S_k⩾<!--\; ⩾\; -->0\mathcal{g}$$\eta _{+}^{0}=min{\mathcal {f}}k\geqslant 1:S_{k}\geqslant 0{\mathcal {g}}$  есть время первого достижения нулевого уровня. Определим ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{+}^0=S_{{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{+}^0}$$\chi _{+}^{0}=S_{\eta _{+}^{0}}$  как первую неотрицательную сумму. Случайная величина ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}^0=min\mathcal{f}k⩾<!--\; ⩾\; -->1:S_k⩽<!--\; ⩽\; -->0\mathcal{g}$$\eta _{-}^{0}=min{\mathcal {f}}k\geqslant 1:S_{k}\leqslant 0{\mathcal {g}}$  есть время достижения нулевого уровня. Определим ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}^0=S_{{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}^0}$$\chi _{-}^{0}=S_{\eta _{-}^{0}}$  как первую неположительную сумму.

ЛитератураПравить

• Боровков А. А. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1972. — С. 165. — 287 с.