Условная дизъюнкция

Условная дизъюнкция — тернарная (имеющая 3 операнда) логическая операция, введенная Алонзо Чёрчем. Результат условной дизъюнкции аналогичен результату более общей тернарной условной операции (if o1 then o2 else o3), которая в том или ином виде используется в большинстве языков программирования как один из способов реализации ветвления в алгоритмах. Для операндов p, q и r, которые определяют истинность суждения, значение условной дизъюнкции [p, q, r] определяется по формуле:

Условная дизъюнкция
Диаграмма Венна
Определение	$(q\to <!--\; \to \; -->p)\wedge <!--\; \wedge \; -->(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}q\to <!--\; \to \; -->r)$$(q\rightarrow p)\land (\neg q\rightarrow r)$
Таблица истинности	$(01000111)$$(01000111)$
Нормальные формы
Дизъюнктивная	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q}r+p\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q}r+pq\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}+pqr$${\overline {p}}{\overline {q}}r+p{\overline {q}}r+pq{\overline {r}}+pqr$
Конъюнктивная	$(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{q}+p)(q+r)$$({\overline {q}}+p)(q+r)$
Полином Жегалкина	$p\oplus <!--\; \oplus \; -->qr\oplus <!--\; \oplus \; -->r$$p\oplus qr\oplus r$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Да
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

$[p,q,r]\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->(q\to <!--\; \to \; -->p)\wedge <!--\; \wedge \; -->(\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}q\to <!--\; \to \; -->r).$$[p,q,r]~\leftrightarrow ~(q\rightarrow p)\land (\neg q\rightarrow r).$

Другими словами, запись [p, q, r] эквивалентна записи: «Если q, то p, иначе r», которую можно переписать как «p или r, в зависимости от q или не q». Таким образом, для любых значений p, q и r значение [p, q, r] равно p, если q истинно, и равно r в противном случае.

В сочетании с константами, обозначающими каждое истинное значение, условная дизъюнкция является функционально полной для классической логики. Её таблица истинности выглядит следующим образом:

Условная дизъюнкция

$a$$a$	$b$$b$	$c$$c$	$[a,b,c]$$[a,b,c]$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Помимо условной дизъюнкции существуют и другие функционально полные тернарные операции.