Условие Гюгонио

Условия Гюгонио — условия, которые должны выполняться на линиях разрыва решений уравнений газовой динамики, как следствия интегральных законов сохранения.

Пусть $x=x(t)-<!--\; -\; -->$$x=x(t)-$ уравнение одной из линий разрыва гидродинамических величин, которую будем предполагать на рассматриваемом отрезке $t_1⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->t_2$$t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$ обладающей непрерывной касательной

Пусть $f(x,t)$$f(x,t)$ терпит разрыв на линии $x=x(t)$$x=x(t)$.
Обозначим:
$f_1(t)=f(x(t)-<!--\; -\; -->0,t);$$f_{1}(t)=f(x(t)-0,t);$
$f_2(t)=f(x(t)+0,t);$$f_{2}(t)=f(x(t)+0,t);$
$[f]=f_2(t)-<!--\; -\; -->f_1(t)$$[f]=f_{2}(t)-f_{1}(t)$

Интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах имеют вид
$(1)\{\begin{array}{l}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dx-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dt=0,\\ \underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dx-<!--\; -\; -->(p+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{u}^2)x^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dt=-<!--\; -\; -->\underset{G}{\oint <!--\; \oint \; -->}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}p{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->dxdt,\\ \underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{u^2}{2})x^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dx-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}+\frac{u^2}{2})x^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->dt=0.\end{array}$$(1){\begin{cases}\oint \limits _{C}\rho x^{\nu }\cdot dx-\rho ux^{\nu }\cdot dt=0,\\\oint \limits _{C}\rho ux^{\nu }\cdot dx-(p+\rho u^{2})x^{\nu }\cdot dt=-\oint \limits _{G}\oint \limits _{C}\nu px^{\nu -1}\cdot dxdt,\\\oint \limits _{C}\rho (\varepsilon +{\frac {u^{2}}{2}})x^{\nu }\cdot dx-\rho u(\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}})x^{\nu }\cdot dt=0.\end{cases}}$

Запишем законы сохранения (2) для контура АА' ВВ', считая, что линии А'В и B'А контура С, а также двойной интеграл $\underset{G}{\oint <!--\; \oint \; -->}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}p{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->dxdt$$\oint \limits _{G}\oint \limits _{C}\nu px^{\nu -1}\cdot dxdt$. Вдоль линии $x=x(t)$$x=x(t)$ имеем $dx=Ddt$$dx=Ddt$, где $D=D(t)=x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t)$$D=D(t)=x^{\prime }(t)$.
Поэтому, например, из первого уравнения (1), получаем
$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int <!--\; \int \; -->}}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\left\{({\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2(t)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1(t))D(t)-<!--\; -\; -->({\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2(t)u_2(t)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1(t)u_1(t))\right\}\cdot <!--\; \cdot \; -->dx=0$$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}x^{\nu }\left\{(\rho _{2}(t)-\rho _{1}(t))D(t)-(\rho _{2}(t)u_{2}(t)-\rho _{1}(t)u_{1}(t))\right\}\cdot dx=0$ $,(2)$$,(2)$
Ввиду произвольности пределов интегрирования в (2), должно равняться нулю подынтегральное выражение т.е. $x^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(t)\left\{D(t)[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}]-<!--\; -\; -->[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u]\right\}=0$$x^{\nu }(t)\left\{D(t)[\rho ]-[\rho u]\right\}=0$.

Сокращая равенство на $x^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$x^{\nu }$, мы видим, что условия на линии разрыва одинаковы для трех случаев симметрии $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=0,1,2$$\nu =0,1,2$.
Поступая аналогичным образом со всеми законами сохранения (1), получим условия на линии разрыва $x=x(t)$$x=x(t)$

$D[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}]=[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u],$$D[\rho ]=[\rho u],$

$D[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u]=[p+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{u}^2],$$D[\rho u]=[p+\rho u^{2}],$

$D[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{u^2}{2})]=[\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}u(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{p}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}+\frac{u^2}{2})]$$D[\rho (\varepsilon +{\frac {u^{2}}{2}})]=[\rho u(\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}})]$

которые связывают скачки гидродинамических величин на линии разрыва $x=x(t)$$x=x(t)$ и скорость $D=x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t)$$D=x^{\prime }(t)$ линии разрыва.
Последние соотношения называются условиями гидродинамической совместимости разрыва либо условиями Гюгонио.