Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

ФормулировкаПравить

Пусть задан функционал

$J(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}F(x,f(x),f^{\prime }(x))dx$$J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$ 

на пространстве гладких функций $f:<!--\; :\; -->[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ , где через $f^{\prime }$$f'$  обозначена первая производная $f$$f$  по $x$$x$ .

Предположим, что подынтегральная функция $F(x,f(x),f^{\prime }(x))$$F(x,f(x),f'(x))$ , обладает непрерывными первыми частными производными. Функция $F$$F$  называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал $J$$J$  достигает экстремума на некоторой функции $f$$f$ , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}=0,$${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$ 

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

ПримерыПравить

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $(a,c)$$(a,c)$  и $(b,d)$$(b,d)$ . Тогда длина пути $y(x)$$y(x)$ , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx.$$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$ 

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^{\prime }}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=0,$${\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,$ 

откуда получаем, что

$\frac{dy}{dx}=C\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->y=Cx+D.$${\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.$ 

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $y(a)=c$$y(a)=c$ , $y(b)=d$$y(b)=d$ , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариацииПравить

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если $q(t)$$q(t)$  — путь в $n$$n$ -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J=\underset{t1}{\overset{t2}{\int <!--\; \int \; -->}}L(t,q(t),q^{\prime }(t))dt$$J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt$ 

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_k^{\prime }}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_k}=0$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0$  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->n$$\forall k=1,2,\dots n$ 

В физических приложениях, когда $L$$L$  является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции $n$$n$  переменных. Если $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

$J=\underset{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}L(f,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n,f_{x_1},\dots <!--\; \dots \; -->,f_{x_n})d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},$$J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{{x_{1}}},\dots ,f_{{x_{n}}})\,d\Omega ,$ 

где $x_i=x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}$  — независимые координаты, $f=f(x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})$ , $f_{x_i}\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$$f_{{x_{i}}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ ,

доставляет экстремум, если только $f$$f$  удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_{x_i}}=0.$${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{{x_{i}}}}}=0.$ 

Если $n=2$$n = 2$  и $L$$L$  — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

ИсторияПравить

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

ДоказательствоПравить

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $f$$f$ , которая удовлетворяет граничным условиям $f(a)=c$$f(a)=c$ , $f(b)=d$$f(b)=d$  и доставляет экстремум функционалу

$J=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}F(x,f(x),f^{\prime }(x))dx.$$J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.$ 

Предположим, что $F$$F$  имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $f$$f$  даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $f$$f$ , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $J$$J$  (если $f$$f$  минимизирует его) или уменьшать $J$$J$  (если $f$$f$  максимизирует).

Пусть $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)$$\eta (x)$  — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(a)=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(b)=0$$\eta (a)=\eta (b)=0$ . Определим

$J(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}F(x,f(x)+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x),f^{\prime }(x)+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime }(x))dx.$$J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,dx.$ 

где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  — произвольный параметр.

Поскольку $f$$f$  даёт экстремум для $J(0)$$J(0)$ , то $J^{\prime }(0)=0$$J'(0)=0$ , то есть

$J^{\prime }(0)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}+{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime }(x)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}\right]dx=0.$$J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.$ 

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}\right]\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)dx+{\left[\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}\right]}_a^b.$$0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.$ 

Используя граничные условия на $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$ , получим

$0=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}\right]\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)dx.$$0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.$ 

Отсюда, так как $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(x)$$\eta (x)$  — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}=0.$${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.$ 

Если не вводить граничные условия на $f(x)$$f(x)$ , то также требуются условия трансверсальности:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}(a,f(a),f^{\prime }(a))=0$${\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}(b,f(b),f^{\prime }(b))=0$${\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0$ 

Обобщение на случай с высшими производнымиПравить

Лагранжиан может также зависеть и от производных $f$$f$  порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}F(x,f(x),f^{\prime }(x),f^{″}(x),...,f^{(n)}(x))dx.$$J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}(x))\,dx.$ 

Если наложить граничные условия на $f$$f$  и на её производные до порядка $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  включительно, а также предположить, что $F$$F$  имеет непрерывные частные производные порядка $2n$$2n$  , то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{″}}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->+(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{d^n}{d{x}^n}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{(n)}}=0.$${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{{(n)}}}}=0.$ 

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, $L_1=(f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x){)}^2,L_2=-<!--\; -\; -->f(x)f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x),L_1-<!--\; -\; -->L_2=\frac{d}{dx}(f(x)f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x))$$L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_{1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ . Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к $L_1$$L_{1}$  достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для $L_2$$L_{2}$ , поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}=-<!--\; -\; -->2f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x),$${\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^{{\prime \prime }}(x),$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}-<!--\; -\; -->\frac{d}{dx}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\prime }}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{L}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}=-<!--\; -\; -->2f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x),$${\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^{{\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \prime }}(x),$ 

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение $-<!--\; -\; -->2f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x)=0$$-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$ .

ЛитератураПравить

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Calculus of Variations (англ.) на сайте PlanetMath.
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.