Уравнения Джинса

Уравнения Джинса — уравнения, описывающие движение совокупности звёзд в гравитационном поле.

Пусть n = n(x,t) — плотность распределения звёзд в пространстве в виде функции координат x = (x₁, x₂, x₃) и времени t, v = (v₁, v₂, v₃) — скорость, Φ = Φ(x,t) — гравитационный потенциал. В данном случае уравнения Джинса можно записать в виде

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(n⟨<!--\; ⟨\; -->v_i⟩<!--\; ⟩\; -->)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}=0,$${\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,$

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(n⟨<!--\; ⟨\; -->v_j⟩<!--\; ⟩\; -->)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(n⟨<!--\; ⟨\; -->v_i{v}_j⟩<!--\; ⟩\; -->)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}=0(j=1,2,3).$${\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3).$

Здесь обозначение <…> означает среднее значение в данной точке и времени (x, t), то есть, например, $⟨<!--\; ⟨\; -->v_1⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle {v_{1}}\rangle$ является средним значением компоненты 1 скорости звёзд в данной точке и времени. Второй набор уравнений можно также записать в виде

$n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->v_j⟩<!--\; ⟩\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}n⟨<!--\; ⟨\; -->v_i⟩<!--\; ⟩\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->v_j⟩<!--\; ⟩\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}=-<!--\; -\; -->n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(n{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}^2)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}(j=1,2,3).$$n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3).$

Здесь ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}^2=⟨<!--\; ⟨\; -->v_i{v}_j⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->v_i⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->v_j⟩<!--\; ⟩\; -->$$\sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle$ показывает дисперсию скоростей для компонентов i и j в данной точке.

Уравнения Джинса аналогичны уравнениям Эйлера для потока жидкости: уравнения Джинса можно вывести из бесстолкновительного уравнения Больцмана. Впервые эти уравнения вывел Джеймс Клерк Максвелл, но в звёздной динамике их применил Джеймс Джинс.