Уравнение эйконала

Уравнение эйконала (от др.-греч. εἰκών — изображение) — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью квазиклассического приближения. Это уравнение выводится из уравнений Максвелла и связывает волновую оптику с геометрической оптикой.

ФормулировкаПравить

Уравнение эйконала может быть представлено в форме:

$|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u(x)|=F(x),x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$|\nabla u(x)|=F(x),\ x\in \Omega$ 

$u{|}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=0$$u|_{{\partial \Omega }}=0$ , где

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  есть подмножество в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ . Здесь

• $F(x)$$F(x)$  — функция с положительными значениями, связанная со скоростью распространения волн в среде.
• $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  — обозначает градиент,
• $|\dots <!--\; \dots \; -->|$$|\dots |$  — Евклидова норма.

ПримерыПравить

• Если $F\equiv <!--\; \equiv \; -->1$$F\equiv 1$ , то функция расстояния до $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\partial \Omega$  удовлетворяет уравнению эйконала.

СсылкиПравить

• Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала

ЛитератураПравить

• Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. — М., 1973.