Уравнение трёх моментов

Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки.

Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов:

$M_{i-<!--\; -\; -->1}{l}_i+2M_i(l_i+l_{i+1})+M_{i+1}{l}_{i+1}=-<!--\; -\; -->6\left(\frac{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_i{a}_i}{l_i}+\frac{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{i+1}{b}_{i+1}}{l_{i+1}}\right).$$M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left({\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}}\right).$

Здесь ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_i$$\Omega _{i}$ — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, $a_i$$a_{i}$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, $b_i$$b_{i}$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, $l_i=a_i+b_i$$l_{i}=a_{i}+b_{i}$ — длина i-й балки.

Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из $n$$n$ балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.

ИсторияПравить

 

Мост через Сену в Аньере.
Винсент ван Гог, 1887

Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, фр. Asnières-sur-Seine), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).

Процедура примененияПравить

Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.

1.  Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.

Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты $M_0,M_1,...,M_n$$M_{0},M_{1},...,M_{n}$ .

2.  Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно $n$$n$ . Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер $n+1$$n+1$ . Длины пролётов: $l_i$$l_{i}$ , $i=0,...,n+1$$i=0,...,n+1$ .

3.  Из условия равновесия консольных частей определяются моменты $M_0$$M_{0}$  и $M_n$$M_{n}$ . Остальные моменты являются неизвестными системы $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  уравнений трёх моментов.

4.  Строятся эпюры моментов $M_p$$M_{p}$  и перерезывающих сил $Q_p$$Q_p$  в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.

5.  Вычисляются площади эпюр моментов ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_i$$\Omega _{i}$ , $i=1,...,n$$i=1,...,n$  в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой ($a_i$$a_{i}$ ) и правой ($b_i$$b_{i}$ ) опоры соответствующего пролёта.

6.  Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.

ПримерПравить

Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка $q_1=10$$q_{1}=10$  кН/м, $q_2=12$$q_{2}=12$  кН/м и сосредоточенная сила $P=9$$P=9$  кН.

  Рис. 1

Длина консоли: $l_0=4$$l_{0}=4$  м. Длины пролетов: $l_1=l_2=l_3=5$$l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$  м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты $M_0$$M_{0}$  и $M_3$$M_{3}$  — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, $M_3=0$$M_{3}=0$ . Для левой консоли получаем $M_0=q_1{l}_0^2/2$$M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$ .

  Рис. 2

Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).

  Рис. 3

Записываем уравнения трёх моментов:

$l_1{M}_0+2M_1(l_1+l_2)+M_2{l}_2=-<!--\; -\; -->6({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_1{a}_1/l_1+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_2{b}_2/l_2),$$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1}/l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$ 

$l_2{M}_1+2M_2(l_2+l_3)+M_3{l}_3=-<!--\; -\; -->6({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_2{a}_2/l_2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_3{b}_3/l_3).$$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2}/l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$ 

Здесь ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_1=10.8\cdot <!--\; \cdot \; -->5/2=27,$$\Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,$  $a_1=(2+5)/3=2.333,$$a_{1}=(2+5)/3=2.333,$  ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_2={\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_3=2f{l}_2/3=125,$$\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$  $a_2=b_2=a_3=b_3=\mathrm{2.5.}$$a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.$  Решаем систему уравнений $M_1=7.301$$M_{1}=7.301$  кНм, $M_2=-<!--\; -\; -->39.325$$M_{2}=-39.325$  кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).

  Рис. 4

Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).

  Рис. 5

Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.

ЛитератураПравить

• Киселёв В. А. . Строительная механика. Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.
• Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. . Сопротивление материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 544 с. — ISBN 5-9221-0181-1.