Уравнение переноса

Уравнение переноса — дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение скалярной величины в пространстве и времени.

Уравнение переноса имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}=0,$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =0,$

где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\nabla \cdot$ — оператор дивергенции, а $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ — вектор плотности потока скалярной величины $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$. Он равен произведению величины $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ на вектор скорости потока: $\mathbf{F}=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\mathbf{u}$${\mathbf {F} }=\psi {\mathbf {u} }$. Часто предполагается, что поле скоростей соленоидально, то есть $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}=0$$\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0$. В этом случае уравнение принимает вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathbf{u}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0.$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.$

В одномерной постановке имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=0.$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{u}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0.$

И при постоянном значении $u$$u$ имеет аналитическое решение:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,t)={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_0(x-<!--\; -\; -->ut),$$\psi (x,t)=\psi _{0}(x-ut),$

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_0$$\psi _{0}$ — произвольная гладкая (дифференцируемая) функция.

См. такжеПравить

• Уравнение диффузии