Уравнение в частных функциональных производных

Уравнение в частных функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения в частных производных на случай бесконечного множества переменных.

Уравнение в частных функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных:

$\frac{du}{d{y}_i}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x_1,x_2,...,x_n,y_1,y_2,...,y_n,u,\frac{du}{d{x}_1},\frac{du}{d{x}_2},...,\frac{du}{d{x}_n})(i=1,2,...,n)$${\frac {du}{dy_{i}}}=\varphi (x_{1},x_{2},...,x_{n},y_{1},y_{2},...,y_{n},u,{\frac {du}{dx_{1}}},{\frac {du}{dx_{2}}},...,{\frac {du}{dx_{n}}})(i=1,2,...,n)$ (1),

где: $u$$u$ - неизвестная функция от $2n$$2n$ переменных $x_1,x_2,...,x_n,y_1,y_2,...,y_n$$x_{1},x_{2},...,x_{n},y_{1},y_{2},...,y_{n}$.

Уравнение в частных функциональных производных:

$U_{y(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}^{{}^{\prime }}=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[x(t),y(t),U_{x(t)}^{{}^{\prime }},U,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}]$$U_{y(\tau )}^{'}=\Phi [x(t),y(t),U_{x(t)}^{'},U,\tau ]$ (2),

где: $U$$U$ - неизвестный функционал, $U_{y(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}^{{}^{\prime }},U_{x(t)}^{{}^{\prime }}$$U_{y(\tau )}^{'},U_{x(t)}^{'}$ - функциональные производные.

ЛитератураПравить

• Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.