Теорема Эренфеста

Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.

Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований.

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

$\frac{d}{dt}⟨<!--\; ⟨\; -->A⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->[A,H]⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}A}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}⟩,$${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ,$

где $A$$\ A$ — квантовая наблюдаемая, $H$$\ H$ — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты $q$$\ q$ и импульса $p$$\ p$ частицы описываются уравнениями

$\frac{d}{dt}⟨<!--\; ⟨\; -->q⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{m}⟨<!--\; ⟨\; -->p⟩<!--\; ⟩\; -->,$${\frac {d}{dt}}\langle q\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle ,$

$\frac{d}{dt}⟨<!--\; ⟨\; -->p⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->⟨\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}⟩,$${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial q}}\right\rangle ,$

где $m$$\ m$ — масса частицы, $U(q)$$\ U(q)$ — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.

ЛитератураПравить

• Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей, — М.: Наука, 1972. (Статья «Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики» стр. 82-84)
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-ое изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с (параграф 32, стр. 130—133)
• Матвеев А. Н. Атомная физика, — М.: Высшая школа, 1989. — 439 с (стр. 124—126)
• Мессиа А. Квантовая механика. В 2-х томах / Под ред. Л.Д. Фадеева. Перевод с франц. В.Т. Хозяинова.. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — С. 307. (VI.2. стр.214-216)
• Борисов А. В. Основы квантовой механики Архивная копия от 8 марта 2007 на Wayback Machine, — Физический факультет МГУ, 1998 г. (Теоремы Эренфеста Архивная копия от 1 ноября 2006 на Wayback Machine)