Уравнение Чандрасекара

Уравне́ние Чандрасека́ра в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара. Уравнение имеет вид

Численное решения уравнения Чандрасекара

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}},$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi },$

где $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ является безразмерным радиусом, $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ связано с плотностью газовой сферы соотношением $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$$\rho =\rho _{c}e^{-\psi }$, где ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c$$\rho _{c}$ представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями

$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0:\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0,\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=0.$$\xi =0:\quad \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0.$

Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким теории теплового взрыва в замкнутой оболочке^[en].

Вывод уравненияПравить

Для изотермической газовой звезды давление $p$$p$  складывается из кинетического давления и давления излучения:

$p=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{k_B}{WH}T+\frac{4\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{3c}{T}^4$$p=\rho {\frac {k_{B}}{WH}}T+{\frac {4\sigma }{3c}}T^{4}$ ,

где

• $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность,
• $k_B$$k_B$  — постоянная Больцмана,
• $W$$W$  — средний молекулярный вес,
• $H$$H$  — масса протона,
• $T$$T$  — температура звезды,
• $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — постоянная Стефана — Больцмана,
• $c$$c$  — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dp}{dr}\right)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dp}{dr}}\right)=-4\pi G\rho ,$ 

где $r$$r$  равно радиусу, измеряемому от центра, $G$$G$  является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

$\frac{k_{B}T}{WH}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\ln <!--\; \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{dr}\right)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}.$${\frac {k_{B}T}{WH}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\ln \rho }{dr}}\right)=-4\pi G\rho .$ 

 

Точное и асимптотическое решения

Вводя преобразования

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\ln <!--\; \; -->\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=r{\left(\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{c}WH}{k_{B}T}\right)}^{1/2},$$\psi =\ln {\frac {\rho _{c}}{\rho }},\quad \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}WH}{k_{B}T}}\right)^{1/2},$ 

где ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c$$\rho _{c}$  — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}.$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }.$ 

Граничные условия таковы:

$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0:\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0,\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=0.$$\xi =0:\quad \psi =0,\quad {\frac {d\psi }{d\xi }}=0.$ 

При $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->1$$\xi \ll 1$  решение близко к

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{6}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^4}{120}+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^6}{1890}+\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\psi ={\frac {\xi ^{2}}{6}}-{\frac {\xi ^{4}}{120}}+{\frac {\xi ^{6}}{1890}}+\cdot \cdot \cdot$ 

Ограничения моделиПравить

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной. Можно показать, что при $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\gg <!--\; \gg \; -->1$$\xi \gg 1$ ,

$\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c}=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\frac{2}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\left[1+\frac{A}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{1/2}}\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\ln <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)+O({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1})\right]$${\frac {\rho }{\rho _{c}}}=e^{-\psi }={\frac {2}{\xi ^{2}}}\left[1+{\frac {A}{\xi ^{1/2}}}\cos \left({\frac {\sqrt {7}}{2}}\ln \xi +\delta \right)+O(\xi ^{-1})\right]$ ,

где $A$$A$  и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Особое решениеПравить

Преобразование $x=1/\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$x=1/\xi$  приводит уравнение к виду

$x^4\frac{d^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d{x}^2}=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}.$$x^{4}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=e^{-\psi }.$ 

Уравнение имеет особое решение вида

$e^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_s}=2x^2,\text{or}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_s=2\ln <!--\; \; -->x+\ln <!--\; \; -->2.$$e^{-\psi _{s}}=2x^{2},\quad {\text{or}}\quad -\psi _{s}=2\ln x+\ln 2.$ 

Следовательно, можно ввести новую переменную $-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=2\ln <!--\; \; -->x+z,$$-\psi =2\ln x+z,$  при этом уравнение для $z$$z$  можно вывести:

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-<!--\; -\; -->\frac{dz}{dt}+e^z-<!--\; -\; -->2=0,t=\ln <!--\; \; -->x.$${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dz}{dt}}+e^{z}-2=0,\quad \quad t=\ln x.$ 

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

$y=\frac{dz}{dt}=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}-<!--\; -\; -->2,$$y={\frac {dz}{dt}}=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }}-2,$ 

тогда

$y\frac{dy}{dz}-<!--\; -\; -->y+e^z-<!--\; -\; -->2=0.$$y{\frac {dy}{dz}}-y+e^{z}-2=0.$ 

Другие варианты уравненияПравить

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

$u=\frac{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}/d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}},v=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\frac{d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}},$$u={\frac {\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi }},\quad v=\xi {\frac {d\psi }{d\xi }},$ 

тогда

$\frac{u}{v}\frac{dv}{du}=\frac{u-<!--\; -\; -->1}{u+v-<!--\; -\; -->3}.$${\frac {u}{v}}{\frac {dv}{du}}={\frac {u-1}{u+v-3}}.$ 

СвойстваПравить

• Если $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$\psi (\xi )$  является решением уравнения Чандрасекара, то $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(A\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})-<!--\; -\; -->2\ln <!--\; \; -->A$$\psi (A\xi )-2\ln A$  также является решением уравнения при произвольной константе $A$$A$ .
• Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию $d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}/d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0$$d\psi /d\xi =0$  при $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0$$\xi =0$ .