Уравнение Фишера (математика)

Уравнение Фишера (англ. Fisher's equation, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+aw(1-<!--\; -\; -->w).$${\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+aw(1-w).$

ИсторияПравить

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.

ПрименениеПравить

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция $f(w)=aw(1-<!--\; -\; -->w)$$f(w)=aw(1-w)$  моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.

РешенияПравить

Для скорости волны $c\ge <!--\; \ge \; -->2\sqrt{a}$$c\geq 2{\sqrt {a}}$  уравнение допускает решения в виде бегущей волны $w(x,t)=w(x\pm <!--\; \pm \; -->ct)=w(z)$$w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)$ , причем $\underset{z\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}=0,\underset{z\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}=1$$\lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1$ . Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для $c<2{\sqrt {a}}$  таких решений не существует.

В случае скорости $c=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{5}{\sqrt{6}}$$c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6}}}$  могут быть получены следующие точные решения:

$w(z)={\left[\pm <!--\; \pm \; -->1+C\exp <!--\; \; -->(\mp <!--\; \mp \; -->\frac{z}{\sqrt{6}})\right]}^{-<!--\; -\; -->2},$$w(z)=\left[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},$ 

$w(z)=\frac{1+2C\exp <!--\; \; -->(\mp <!--\; \mp \; -->\frac{z}{\sqrt{6}})}{{\left[1+C\exp <!--\; \; -->(\mp <!--\; \mp \; -->\frac{z}{\sqrt{6}})\right]}^2},$$w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})}{\left[1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{2}}},$ 

где $C$$C$  — произвольная постоянная.