Уравнение Фишера

Уравнение Фишера (также называемое эффектом Фишера и гипотезой Фишера) — уравнение, описывающее связь между темпом инфляции, номинальной и реальной ставками процента. Названо в честь Ирвинга Фишера.

УравнениеПравить

Уравнение имеет следующий вид.

$i=r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$i=r+\pi$ ,

где $i$$i$  — номинальная ставка процента; $r$$r$  — реальная ставка процента; $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — темп инфляции.

Экономический смыслПравить

Уравнение в приближенной форме (см. Вывод) описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам:

• из-за изменений реальной ставки процента;
• из-за изменения темпа инфляции.

Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок. Поэтому он заинтересован в том, чтобы получить не только определенный доход, но и компенсировать падение покупательной способности денег в будущем. Например, если инвестор положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.

В уравнении может использоваться как фактический темп инфляции $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , так и его ожидаемое значение ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^e$$\pi ^{e}$ . В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.

ВыводПравить

Уравнение в приведенной выше форме является приближенным. Оно выполняется тем точнее, чем меньше по модулю значения $r$$r$  и $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ . Поэтому с математической точки зрения правильно писать приближенное равенство:

$i\approx <!--\; \approx \; -->r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$i\approx r+\pi$ ,

Точная запись уравнения выглядит следующим образом:

$1+i=(1+r)\times <!--\; \times \; -->(1+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$1+i=(1+r)\times (1+\pi )$ 

Если раскрыть скобки, то получится следующая запись:

$1+i=1+r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$1+i=1+r+\pi +r\pi$ 

или

$i=r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$i=r+\pi +r\pi$ 

С точки зрения математического анализа, если $r$$r$  и $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  стремятся к нулю, то произведение $r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$r\pi$  является бесконечно малой более высокого порядка. Поэтому при малых (по модулю) значениях $r$$r$  и $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  произведением $r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$r\pi$  можно пренебречь. В результате получится упомянутая выше приближенная запись.

Пусть, например, $r=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=1\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$r=\pi =1\%$ . Тогда сумма этих величин равна 2 %, а произведение — 0,01 %. Если же взять $r=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=10\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$r=\pi =10\%$ , то сумма получится равной 20 %, а произведение 1 %. Таким образом, с ростом значений погрешность в расчетах становится все больше.

Точную запись можно также преобразовать к следующему виду, предложенному Фишером:

$r=\frac{1+i}{1+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}-<!--\; -\; -->1=\frac{i-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{1+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$r={\frac {1+i}{1+\pi }}-1={\frac {i-\pi }{1+\pi }}$ 

В тривиальных случаях при $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=0$$\pi =0$  или $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=i$$\pi =i$  обе формулы (точная и приближенная) дают одинаковое значение реальной процентной ставки.

См. такжеПравить

• Процентная ставка
• Инфляционные ожидания

ЛитератураПравить

• Вечканов Г. C., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2008. — С. 55. — (Серия «Краткий курс»). — ISBN 978-5-91180-108-3.
• Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб.. — М.: Дело, 2000. — 400 с.