Уравнение Слуцкого

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

$x_i(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})=x_i(p,e(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})),$$x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),$

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}e(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}-<!--\; -\; -->x_j(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I},$${\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},$

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$${\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}$ — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Уравнение Слуцкого через эластичностиПравить

Если умножить исходное уравнение Слуцкого на $p_j$$p_{j}$  и разделить $x_i(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})$$x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})$ , то получим уравнение Слуцкого в терминах эластичностей спроса по цене и доходу:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i{p}_j}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i{p}_j}^h-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{iI}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\varepsilon _{ip_{j}}=\varepsilon _{ip_{j}}^{h}-\varepsilon _{iI}\cdot \alpha _{i}$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i{p}_j}$$\varepsilon _{ip_{j}}$  - эластичность спроса на i-й товар по цене j-го

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i{p}_j}^h$$\varepsilon _{ip_{j}}^{h}$  - эластичность компенсированного спроса на i-й товар по цене j-го (то есть без учета эффекта дохода)

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{iI}$$\varepsilon _{iI}$  - эластичность спроса на i-й товар по доходу потребителя

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\alpha_i$  - доля затрат на покупку i-го товара в доходе потребителя

Матрица СлуцкогоПравить

Частные производные $s_{ij}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(p,u)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(p,I)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_j}+x_j(p,I)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i(p,I)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I}$$s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}$  могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: $s_{ij}=s_{ji}$$s_{ij}=s_{ji}$  (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
2. Отрицательная полуопределенность;
3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: $S(p,I)\mathbf{p}=0$$S(p,I)\mathbf {p} =0$ .

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Товары ГиффенаПравить

Товар Гиффена является благом, спрос на который растет при повышении цены. Является частным случаем низкокачественных (неполноценных)товаров. В крайнем случае неполноценности дохода, размер эффекта дохода превышал размер эффекта замещения, что приводило к положительному совокупному изменению спроса, возникающий в ответ на изменение цены. Уравнение Слуцкого, разбивающее изменение спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода, объясняет, почему закон спроса не действует для товаров Гиффена.

СсылкиПравить

https://web.archive.org/web/20070504015028/http://www.math.kemsu.ru/faculty/kmc/book/matekon/Chapter3/par3_7.html

http://50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=16&r=1&z=1

ЛитератураПравить

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..