Уравнение Мещерского

Для термина «Мещерский» см. также другие значения.

Уравне́ние Меще́рского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году для материальной точки переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

$M(t)\frac{d\mathbf{v}}{dt}={\mathbf{u}}_1(t)\frac{d{m}_1}{dt}-<!--\; -\; -->{\mathbf{u}}_2(t)\frac{d{m}_2}{dt}+\mathbf{F},$$M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},$

где:

• $M(t)$$M(t)$ — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
• $\mathbf{v}$${\mathbf v}$ — скорость движения материальной точки переменной массы;
• $\mathbf{F}$${\mathbf F}$ — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
• ${\mathbf{u}}_1(t)={\mathbf{v}}_1-<!--\; -\; -->\mathbf{v}$${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ — относительная скорость присоединяющихся частиц;
• ${\mathbf{u}}_2(t)={\mathbf{v}}_2-<!--\; -\; -->\mathbf{v}$${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ — относительная скорость отделяющихся частиц;
• $\frac{d{m}_1}{dt}>0$${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ и $\frac{d{m}_2}{dt}>0$${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$ — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Величина:

${\mathbf{F}}_r={\mathbf{u}}_1\frac{d{m}_1}{dt}-<!--\; -\; -->{\mathbf{u}}_2\frac{d{m}_2}{dt}$${\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2}}{dt}}$

называется «реактивной силой».

Обычно уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:

$\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P}}{dt}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F},$${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},$

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P}$${\vec P}$ — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$ — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

Вывод уравнения Мещерского

Рассмотрим тело переменной массы $M=M(t)$$M=M(t)$. Пусть за промежуток времени $dt$$dt$ к телу присоединяется малая масса $d{m}_1$$dm_{1}$, имевшая до присоединения скорость ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1$${\vec {v}}_{1}$, и отделяется малая масса $d{m}_2$$dm_{2}$, скорость которой после отделения становится равной ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2$${\vec {v}}_{2}$. В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.

В соответствии с законом сохранения импульса импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:

$M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+d{m}_1{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1=M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+d(M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})+d{m}_2{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2,(1)$$M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_{2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)$

где $d(M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})$$d(M{\vec {v}})$ — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.

Учитывая, что $d(M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})=dM\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+Md\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$$d(M{\vec {v}})=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$, из (1) получаем:

$d{m}_1{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1=dM\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+Md\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+d{m}_2{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2.(2)$$dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}.\qquad (2)$

Изменение массы основного тела $dM$$dM$ связано с $d{m}_1$$dm_{1}$ и $d{m}_2$$dm_{2}$ соотношением $dM=d{m}_1-<!--\; -\; -->d{m}_2$$dM=dm_{1}-dm_{2}$, поэтому из (2) следует:

$d{m}_1({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})=Md\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}+d{m}_2({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}).(3)$$dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (3)$

После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:

$M\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{dt}=\frac{d{m}_1}{dt}({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})-<!--\; -\; -->\frac{d{m}_2}{dt}({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}).(4)$$M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)$

Введя относительные скорости частиц ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_1$${\vec {u}}_{1}$ и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_2$${\vec {u}}_{2}$, равные соответственно $({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})$$({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ и $({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})$$({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$, и добавив равнодействующую внешних сил $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$, получим уравнение Мещерского в окончательном виде.

Релятивистское уравнение МещерскогоПравить

Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета и Зенгера.

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}=\frac{m\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}$${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ . В результате уравнение приобретает вид:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{M\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}\right)={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{d}{dt}\left(\frac{m_1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}\right)-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{d}{dt}\left(\frac{m_2}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}\right).$${\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right)={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right).$ 

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости $({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_1-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})$$({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$  и $({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_2-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})$$({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ , так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

$M\frac{dv}{dt}=-<!--\; -\; -->\left(1-<!--\; -\; -->\frac{v^2}{c^2}\right)u\frac{dM}{dt},$$M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}},$ 

где $u=\frac{v_2-<!--\; -\; -->v}{1-<!--\; -\; -->v_2\cdot <!--\; \cdot \; -->v/c^2}$$u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$  — скорость частиц относительно ракеты.

История открытияПравить

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году.

Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами», аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.

ЛитератураПравить

• Мещерский И. В. «Динамика точки переменной массы» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.37-188.
• Мещерский И. В., «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.222-264.
• Михайлов Г. К. «К истории динамики систем переменного состава» Известия АН СССР: Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 41-51.
• Михайлов Г. К. К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1974.
• Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела переменного состава. М.: Оборонгиз, 1963. 178с.
• Механика тел переменной массы — статья из Физической энциклопедии
• Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. М.: Наука, 1977. Глава IV «Динамика точки переменной массы» Параграф 221. — Вывод уравнения Мещерского (стр.433-435).
• Айзерман М. А. Классическая механика. 2-ое изд. М.: Наука, 1980. — 368с. Глава 3. Параграф 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава. стр.107-120.
• Веретенников В. Г., Синицын В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0703-8 (Параграфы 2.5. Кинематика системы переменного состава. стр.71-77; 3.4. Основные динамические величины системы переменного состава. стр.91-94; 6.2. Задача о движении центра масс при взаимодействии тела с внешней сплошной средой. стр.170-172; 6.3. Теорема об изменении количества движения системы переменного состава. стр.172-180; 6.6. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к системе переменного состава. стр.200-207; 7.2. Общее уравнение аналитической динамики для системы точек переменной массы. стр.215-227.)
• Седов Л. И. К релятивистской теории полета ракеты // Прикладная математика и механика — 1986. — Т. 50, вып. 6.
• Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. — 272 с. — ISBN 5-02-013805-3. Глава III. параграф 4. Релятивистская теория полета ракеты.

СсылкиПравить

• Бородовский В. Н. Отечественные ракеты. История и будущее