Уравнение Лейна — Эмдена

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена. Уравнение имеет вид

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n=0,$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,$

где $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ — безразмерный радиус, $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n$$\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ для центральной плотности ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c$$\rho _{c}$. Показатель $n$$n$ является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

$P=K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{1+\frac{1}{n}}$$P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$

где $P$$P$ и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ — давление и плотность, $K$$K$ — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1$$\theta (0)=1$ и ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(0)=0$$\theta '(0)=0$. Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом $n$$n$. Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

ПрименениеПравить

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравненияПравить

Из условия гидростатического равновесияПравить

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

$\frac{dm}{dr}=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},$${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho ,$ 

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  является функцией $r$$r$ . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

$\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dP}{dr}=-<!--\; -\; -->\frac{Gm}{r^2},$${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},$ 

где $m$$m$  также является функцией $r$$r$ . Повторное дифференцирование приводит к выражению

${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho ,\end{aligned}}$ 

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на $r^2$$r^{2}$  и переносим слагаемые с производными $P$$P$  в левой части:

$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dP}{dr}\right)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G{r}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}.$$r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho .$ 

Делим обе части на $r^2$$r^{2}$ , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на $P=K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{1+\frac{1}{n}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{n+1}$$P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$  и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n$$\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ ,то равенство примет вид

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^{2}K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dr}\right)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n.$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}.$ 

Выполним подстановку $r=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$r=\alpha \xi$ , где

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2=(n+1)K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{\frac{1}{n}-<!--\; -\; -->1}/4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G,$$\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,$ 

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n=0.$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0.$ 

Из уравнения ПуассонаПравить

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{dr}\right)=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}.$$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho .$ 

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

$\frac{d\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{dr}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\frac{dP}{dr},$${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}},$ 

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

РешенияПравить

Для заданного значения индекса политропы $n$$n$  обозначим решение уравнения как ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$\theta _{n}(\xi )$ . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n$$\theta_n$ . Существуют точные аналитические решения для определённых значений $n$$n$ , в частности для $n=0,1,5$$n=0,1,5$ . Для $n$$n$  между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением $R=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$R=\alpha \xi _{1}$ , где ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1)=0$$\theta _{n}(\xi _{1})=0$ .

Для данного решения ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n$$\theta_n$  профиль плотности задаётся выражением

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n^n$$\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}$ .

Полную массу $M$$M$  модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\xi_1$ .

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния $P=K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{1+\frac{1}{n}}$$P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}$ , то есть

$P=K{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{1+\frac{1}{n}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n^{n+1}.$$P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}.$ 

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид $P=k_B\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}T/\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$P=k_{B}\rho T/\mu$ , где $k_B$$k_B$  — постоянная Больцмана, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

$T=\frac{K\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{k_B}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c^{1/n}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n.$$T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}.$ 

Точные решенияПравить

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы $n$$n$ .

n = 0Править

Если $n=0$$n=0$ , уравнение имеет вид

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)+1=0.$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0.$ 

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=C_1-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^3.$$\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}.$ 

Поделим обе части на ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2$$\xi ^{2}$ , проинтегрируем:

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=C_0-<!--\; -\; -->\frac{C_1}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2.$$\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.$ 

Граничные условия $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1$$\theta (0)=1$  и ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(0)=0$$\theta '(0)=0$  предполагают, что постоянные интегрирования равны $C_0=1$$C_{0}=1$  и $C_1=0$$C_{1}=0$ . Следовательно,

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2.$$\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}.$ 

n = 1Править

Если $n=1$$n=1$ , уравнение можно представить в виде

$\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}+\frac{2}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0.$${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0.$ 

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^n.$$\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}.$ 

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

$a_{n+2}=-<!--\; -\; -->\frac{a_n}{(n+3)(n+2)}.$$a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}.$ 

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=a_0\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}+a_1\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}.$$\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}.$ 

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\to <!--\; \to \; -->1$$\theta (\xi )\rightarrow 1$  при $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\xi \rightarrow 0$ . Тогда $a_0=1,a_1=0$$a_{0}=1,a_{1}=0$ , что даёт решение в виде

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}.$$\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}.$ 

n = 5Править

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

$\frac{1}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}\frac{d}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)+{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^5=0.$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0.$ 

Для $\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$${\frac {d\theta }{d\xi }}$  получим

$\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=\frac{1}{2}{\left(1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}\right)}^{3/2}\frac{2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{3}=\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^3}{3[1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}{]}^{3/2}}.$${\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}.$ 

Дифференцируем по ξ:

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^5=\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{[1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}{]}^{3/2}}+\frac{3{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{9[1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}{]}^{5/2}}=\frac{9}{9[1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}{]}^{5/2}}.$$\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}={\frac {9}{9[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.$ 

После упрощения получаем

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^5=\frac{1}{[1+\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}{3}{]}^{5/2}}.$$\theta ^{5}={\frac {1}{[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}]^{5/2}}}.$ 

Таким образом, уравнение имеет решение

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2/3}}$$\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$ 

при $n=5$$n=5$ . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решенияПравить

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

$\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2},$${\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}},$ 

$\frac{d\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}={\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2.$${\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}.$ 

Здесь $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$\phi (\xi )$  представляет собой безразмерную массу, определяемую как $m(r)=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^3{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_c\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )$ . Соответствующими начальными условиями являются $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(0)=0$$\phi (0)=0$  и $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(0)=1$$\theta (0)=1$ . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменныеПравить

Гомологически инвариантное уравнениеПравить

Известно, что если $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$\theta (\xi )$  является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и $C^{2/n+1}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(C\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$C^{2/n+1}\theta (C\xi )$  является решением. Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

$U=\frac{d\log <!--\; \; -->m}{d\log <!--\; \; -->r}=\frac{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^3{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^n}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}$ 

и

$V=\frac{d\log <!--\; \; -->P}{d\log <!--\; \; -->r}=(n+1)\frac{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.$$V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}.$ 

После дифференцирования логарифмов данных переменных по $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  получим выражения

$\frac{1}{U}\frac{dU}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=\frac{1}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}(3-<!--\; -\; -->n(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V-<!--\; -\; -->U)$${\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$ 

и

$\frac{1}{V}\frac{dV}{d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=\frac{1}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}(-<!--\; -\; -->1+U+(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V)$${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$ .

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , после чего получим выражение

$\frac{dV}{dU}=-<!--\; -\; -->\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V-<!--\; -\; -->1}{U+n(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V-<!--\; -\; -->3}\right),$${\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right),$ 

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравненияПравить

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

$\frac{dU}{d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=-<!--\; -\; -->U(U+n(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V-<!--\; -\; -->3)$${\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$ 

и

$\frac{dV}{d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}=V(U+(n+1{)}^{-<!--\; -\; -->1}V-<!--\; -\; -->1).$${\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).$ 

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где $dV/d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=dU/d\log <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0$$dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$ ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.

${\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Критические точки}}&{\text{Собственные числа}}&{\text{Собственные векторы}}\\\hline (0,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0,n+1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)&{\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n},4+4n)\\\hline \end{array}}$ 

ЛитератураПравить

Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Lane-Emden Differential Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.