Уравнение Клейна — Гордона

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока, Шрёдингера — Гордона) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_y^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{m^2{c}^2}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0$$\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0$,

или (с использованием единиц, где $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=c=1$$\hbar=c=1$, $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$$\square\$ — оператор Д’Аламбера):

$(\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}-<!--\; -\; -->m^2)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0$$(\square \ -m^{2})\psi =0$.

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

• в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
• макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
• более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой $\pm <!--\; \pm \; -->m{c}^2/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\pm mc^{2}/\hbar$, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой $m$$m$ частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

ИсторияПравить

Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона.

ВыводПравить

(Здесь использованы единицы, где $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=c=1$$\hbar=c=1$ ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

$\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}}^2}{2m}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$${\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi$ ,

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$  — оператор импульса; оператор же $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{E}=i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t$${\hat {E}}=i\partial _{t}$  будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

$p^2+m^2=E^2$$p^{2}+m^{2}=E^{2}$ .

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии, получаем:

$((-<!--\; -\; -->i\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{)}^2+m^2)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=i^2{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ ,

что в ковариантной форме запишется так:

$(\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}-<!--\; -\; -->m^2)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0$$(\square \ -m^{2})\psi =0$ ,

где $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^2$$\square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}$  — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицыПравить

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\frac{m^2{c}^2}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$ 

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{r},t)=e^{i(\mathbf{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}$$\psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$ ,

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на $\mathbf{k}$${\mathbf k}$  и $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ :

$-<!--\; -\; -->k^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{c^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}$$-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}$ .

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathbf{p}⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{p}}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathbf{k}$$\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}$ ,

$⟨<!--\; ⟨\; -->E⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{E}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega$ .

Найденное соотношение $k$$k$  и $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

$⟨<!--\; ⟨\; -->E^2⟩<!--\; ⟩\; -->=m^2{c}^4+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{p}}^2⟩<!--\; ⟩\; -->c^2$$\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}$ .

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить $m=0$$m=0$  в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

$⟨<!--\; ⟨\; -->E^2⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathbf{p}}^2⟩<!--\; ⟩\; -->c^2$$\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}$ .

Использовав формулу групповой скорости ${\mathbf{v}}_{gr}=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{k}$${\mathbf {v}}_{{gr}}=\partial \omega /\partial {\mathbf {k}}\$ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде (очевиден только квадрат гамильтониана).

См. такжеПравить

• Уравнение синус-Гордона
• Уравнение Дирака
• Уравнения Прока
• Уравнения Максвелла

СсылкиПравить

• Линейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Нелинейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.