Уравнение Дирака для графена

Основная статья: Графен

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака . Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.

ВыводПравить

Зонная структураПравить

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

$H=-<!--\; -\; -->t\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_i)b({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j)-<!--\; -\; -->t\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_B}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_i)a({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{v}}}_j),(1.1)$$H=-t\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{{i\in \Lambda _{B}}}\sum _{{j=1}}^{3}b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)$ 

где $t$$t$  — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы $a^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_i)$$a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$  и $b^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_i)$$b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$  операторы рождения, действующие на треугольных подрешётках кристалла ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A$$\Lambda _{A}$  и ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_B$$\Lambda _{B}$  соответственно, $a({\mathbf{\text{r}}}_i)$$a({\textbf {r}}_{i})$  и $b({\mathbf{\text{r}}}_i)$$b({\textbf {r}}_{i})$  — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:

$[a({\mathbf{\text{r}}}_i),a^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_{i^{{}^{\prime }}}){]}_{+}=[b({\mathbf{\text{r}}}_i),b^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_{i^{{}^{\prime }}}){]}_{+}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{i{i}^{{}^{\prime }}}.(1.2)$$[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_{{+}}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_{{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)$ 

Шесть векторов ${\mathbf{\text{u}}}_i$${\textbf {u}}_{i}$  и ${\mathbf{\text{v}}}_i$${\textbf {v}}_{i}$  указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

${\mathbf{\text{u}}}_1=(-<!--\; -\; -->d,0),{\mathbf{\text{u}}}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),{\mathbf{\text{u}}}_3=\left(\frac{1}{2}d,-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),(1.3)$${\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\qquad (1.3)$ 

${\mathbf{\text{v}}}_1=(d,0),{\mathbf{\text{v}}}_2=\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}d,-<!--\; -\; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),{\mathbf{\text{v}}}_3=\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).(1.4)$${\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d,{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right).\qquad (1.4)$ 

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

$a({\mathbf{\text{r}}}_i)=\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a}(\mathbf{\text{k}}),b({\mathbf{\text{r}}}_i)=\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}(\mathbf{\text{k}}),(1.5)$$a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)$ 

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде

$H=\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{\text{k}}),(1.6)$$H=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dagger }}({\textbf {k}}){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)$ 

где приняты следующие обозначения:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{\text{k}})={\left(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a}(\mathbf{\text{k}}),\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}(\mathbf{\text{k}})\right)}^T,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})=\left({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}}),{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})\right),(1.7)$${\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf {k}})\right)^{{T}},\,{\tilde {\psi }}^{{\dagger }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}^{{\dagger }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\dagger }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)$ 

и

${\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j}}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)$ 

Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{\text{r}}}_i)b({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j),(1.9)$$\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)$ 

которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^2{k}^{{}^{\prime }}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}{e}^{i{\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}({\mathbf{\text{r}}}_i+{\mathbf{\text{u}}}_j)}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}({\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}),(1.10)$$\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)$ 

или

$\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^2{k}^{{}^{\prime }}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i+i{\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}{\mathbf{\text{r}}}_i}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i{\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}{\mathbf{\text{u}}}_j}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}({\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}).(1.11)$$\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r}}_{i}}}\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)$ 

Используя соотношение

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_A}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{r}}}_i+i{\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}{\mathbf{\text{r}}}_i}=(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left({\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}-<!--\; -\; -->\mathbf{\text{k}}\right),(1.12)$$\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1.12)$ 

получим после интегрирования по ${\mathbf{\text{k}}}^{{}^{\prime }}$${\textbf {k}}^{{'}}$  выражение

$\underset{BZ}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d^{2}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a†<!--\; †\; -->}(\mathbf{\text{k}})\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{b}(\mathbf{\text{k}}).(1.13)$$\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}).\qquad (1.13)$ 

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения

$E=\pm <!--\; \pm \; -->t\sqrt{\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{u}}}_j}\underset{j^{{}^{\prime }}=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i\mathbf{\text{k}}{\mathbf{\text{v}}}_{j^{{}^{\prime }}}}}=\pm <!--\; \pm \; -->t\sqrt{\left(e^{-<!--\; -\; -->i{k}_{x}d}+2e^{i{k}_{x}d/2}\cos <!--\; \; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y\right)\left(e^{i{k}_{x}d}+2e^{-<!--\; -\; -->i{k}_{x}d/2}\cos <!--\; \; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y\right)}=$$E=\pm t{\sqrt {\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}}}}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=$ 

$\pm <!--\; \pm \; -->t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_{x}d/2}\cos <!--\; \; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y\right)\left(1+2e^{-<!--\; -\; -->i3k_{x}d/2}\cos <!--\; \; -->\frac{\sqrt{3}}{2}d{k}_y\right)}=\pm <!--\; \pm \; -->t\sqrt{1+4\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{k}_{y}d\right)\left[\cos <!--\; \; -->\left(\frac{3}{2}{k}_{x}d\right)+\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{k}_{y}d\right)\right]},(1.14)$$\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]}},\qquad (1.14)$ 

которые определяют зонную структуру графена.

Низкоэнергетическое приближениеПравить

Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

$\left(0,\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right),\left(0,-<!--\; -\; -->\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right),\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3d},\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right),\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3d},-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right),\left(-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3d},\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right),\left(-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3d},\frac{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right).(2.1)$$\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)$ 

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

${\mathbf{\text{K}}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}=\left(0,\pm <!--\; \pm \; -->\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}\right).(2.2)$${\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2)$ 

Рассмотрим недиагональный элемент ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_{12}$${\tilde {H}}_{{12}}$  гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d

$\underset{d\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{d}^{-<!--\; -\; -->1}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_{12}{|}_{\mathbf{\text{k}}={\mathbf{\text{K}}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}+\mathit{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}=-<!--\; -\; -->t\underset{d\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{d}^{-<!--\; -\; -->1}\left(e^{-<!--\; -\; -->i{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_{x}d}+2e^{i{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_{x}d/2}\cos <!--\; \; -->\frac{\sqrt{3}d}{2}\left(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3\sqrt{3}d}+{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_y\right)\right)=\frac{3t}{2}(i{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_x\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_y).(2.3)$$\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K}}^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i\kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left(\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)$ 

Для ${\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_{21}$${\tilde {H}}_{{21}}$  разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

$\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)$ 

где фермиевская скорость $v_F=3td{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}/2$$v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$  и

$\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\,\alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)$ 

Здесь ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^1$$\sigma ^{1}$  и ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$  — матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

$H=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^1{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_y).(2.6)$$H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)$ 

Решением уравнени Дирака для графена $H\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=E\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$H\psi =E\psi$  будет четырёхкомпонентный столбец вида

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_A^{+},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_B^{+},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_A^{-<!--\; -\; -->},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_B^{-<!--\; -\; -->}{)}^T,(2.7)$$\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^{{-}})^{{T}},\qquad (2.7)$ 

где индексы ^$A$$A$  и ^$B$$B$  соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.

Произвольный поворот системы координатПравить

Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида

$H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\partial _{x}\pm \partial _{y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.1)$ 

из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде

$H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)$ 

который получается из (3.1) если взять угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\alpha =-\pi /2$ .

Решение уравнения ДиракаПравить

Рассмотрим гамильтониан для одной долины

$H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)$ 

Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\\ \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}\end{array}\right).(4.2)$$\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)$ 

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

$\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x}}+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)$ 

Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}=-<!--\; -\; -->\frac{E^2}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{v}^2}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},(4.4)$${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)$ 

решением которого будет плоская волна

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.5)$$\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.5)$ 

Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

$E=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}v{k}_F=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.(4.6)$$E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)$ 

Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

$\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}=-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}v\left(k_x+i{k}_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}=-<!--\; -\; -->i{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}v{k}_F}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.7)$$\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.7)$ 

Поэтому волновая функция для $K^{+}$$K^{{+}}$  долины запишется в виде

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -<!--\; -\; -->i{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}v{k}_F}{E}\end{array}\right)e^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}.(4.8)$$\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)$ 

ЛитератураПравить

• Лозовик Ю. Е. , Меркулова С.П., Соколик А.А. Коллективные электронные явления в графене // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 757–776.