Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова

Уравнение Колмогорова —Джонсона — Мела — Аврами (англ. Kolmogorov — Johnson — Mehl — Avrami — equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым, и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом  (англ.) (рус. и У. Джонсоном, а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Иллюстрация фазового перехода при росте зародышей, которые возникают случайным образом в рассматриваемом объёме.

Основные постулатыПравить

• Неограниченность объёма системы, в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью $I(t)$$I(t)$  на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{R}$${\dot {R}}$  не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени $t$$t$ , то есть $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{R}=v(t)$${\dot {R}}=v(t)$ .

Формула КолмогороваПравить

Обозначим $q(t)$$q(t)$  долю в момент $t$$t$  несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму $V_0$$V_{{0}}$ . Тогда формула Колмогорова имеет вид

$q(t)=exp\left[-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{t}I(t^{\prime })V(R(t^{\prime },t))d{t}^{\prime }\right]$$q(t)=exp\left[-\int _{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right]$ 

где $V(R(t^{\prime },t))$$V(R(t',t))$  объём изолированного зародыша, зародившегося в момент времени $t^{\prime }$$t'$  и в момент времени $t$$t$  имеющего радиус $R$$R$ . Зная $q(t)$$q(t)$ , легко вычислить долю сконденсировшегося объёма $Q(t)$$Q(t)$ 

$Q(t)=1-<!--\; -\; -->q(t)$$Q(t)=1-q(t)$ 

ОграниченияПравить

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для $q(t)$$q(t)$ .