Уравнение Гамильтона — Якоби

Для термина «Гамильтон» см. также другие значения.

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

$H\left(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_n;\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_n};t\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0.$$H\left(q_{1},\dots ,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Здесь S обозначает классическое действие, $H(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_n;p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n;t)$$H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)$ — классический гамильтониан, $q_i$$q_{i}$ — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразованиеПравить

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции $S(q,p^{\prime },t)$$S(q,p',t)$  (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для $H(q,p,t)$$H(q,p,t)$  и $H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)$$H'(q',p',t)$  при следующем преобразовании:

$(1)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}=p,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}^{\prime }}=q^{\prime },H^{\prime }=H+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$$(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H'=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}.$ 

Новые уравнения движения становятся

$(2)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{H}^{\prime }}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^{\prime }}=-<!--\; -\; -->\frac{d{p}^{\prime }}{dt},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{H}^{\prime }}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}^{\prime }}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}.$$(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt}},\quad {\frac {\partial H'}{\partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.$ 

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H́ тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

$(3)\frac{d{p}^{\prime }}{dt}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}=0.$$(3)\quad {\frac {dp'}{dt}}={\frac {dq'}{dt}}=0.$ 

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

$H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)=H(q,p,t)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0.$$H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$ 

Поскольку уравнение (1) даёт $p=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q,$$p=\partial S/\partial q,$  можно записать

$H\left(q,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q},t\right)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0,$$H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0,$ 

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

РешениеПравить

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о $q_1$$q_{1}$ ) и соответствующий ей импульс $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}$${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}$  входят в уравнение в форме

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+H\left(f_1\left(q_1,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\right),q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_n,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_2},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_n}\right)=0.$${\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.$ 

Тогда можно положить

$f_1\left(q_1,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}\right)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,$$f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right)=\alpha _{1},$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_1}=g_1(q_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1),$${\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),$ 

где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$$\alpha _{1}$  — произвольная постоянная, $g_1$$g_{1}$  — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

$S=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->H({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)dt+\int <!--\; \int \; -->g_1(q_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1)d{q}_1+\int <!--\; \int \; -->g_2(q_2,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2)d{q}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+\int <!--\; \int \; -->g_n(q_n,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)d{q}_n+k,$$S=-\int H(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,$ 

где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\alpha_i$  — произвольные постоянные, $k$$k$  — константа интегрирования. Напомним, что при этом $S$$S$  является функцией конечной точки $(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_n)$$(q_{1},\dots ,q_{n})$ . Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}(\mathbf{q},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n,t).$$\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},t).$ 

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с $s$$s$  степенями свободы кинетическая энергия имеет вид $T=\frac{1}{2}f\underset{m=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_m({\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_m^2),$$T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$  и потенциальная энергия имеет вид $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}=\frac{1}{f}f\underset{m=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_m(q_m),$$\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$  где $f=\underset{m=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{F}_m(q_m),$$f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$  то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби.

См. такжеПравить

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение
• Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
• Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

ЛитератураПравить

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание — М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
• Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.