Уравнение Винера — Хопфа

Уравне́ние Ви́нера — Хо́пфа — линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}K(x-<!--\; -\; -->s)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)ds+f(x),$$\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x),$

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ — искомая функция; $f(x)$$f(x)$, $K(x-<!--\; -\; -->s)$$K(x-s)$ — известные функции, $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\lambda ,\beta$ — параметры. При $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=0$$\beta =0$ называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\beta =1$ называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задач выделения и фильтрации полезного сигнала из его смеси с шумом.

Метод решенияПравить

Для решения вводятся т. н. односторонние функции ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{+}(x)$$\varphi _{+}(x)$  и $f_{+}(x)$$f_{+}(x)$ , равные $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  и $f(x)$$f(x)$  при x>0 и равные 0 при x<0 и функция ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}(x)$$\varphi _{-}(x)$ , равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{+}(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}K(x-<!--\; -\; -->s){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{+}(s)ds+f_{+}(x)+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{-<!--\; -\; -->}(x)$$\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)$ . Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(u)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\pm <!--\; \pm \; -->}(x)e^{iux}dx$$\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ . Для уравнения-образа ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{+}(u)=\frac{f^{+}+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{K}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(u)}$$\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)}}$  решается краевая задача Римана, т.е. определяются функции ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}$$\varphi ^{-}$  и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{+}$$\varphi ^{+}$ . Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{+}$$\varphi ^{+}$ : $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{+}(u)e^{-<!--\; -\; -->iux}du$$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^{-iux}du$ .

ЛитератураПравить

1. Физическая энциклопедия. Т. 1. / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. Сов. энциклопедия, 1988.
2. Гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931 // Винер Н. Я-математик. — М.: Наука, 1964. В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 с. (с. 120—143).
3. Гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера — Хопфа» // Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. Техническая кибернетика: учеб. пособие. — М.: Изд-во МАИ, 1994. — 280 с. (с. 60-63). — ISBN 5-7035-0489-9.
4. Гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера — Хопфа второго рода» // Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1;
5. Гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси» // Мышкис А. Д. Математика для технических вузов: спец. курсы. — 2-е изд. — СПб.: Лань, 2002. — 640 с. — ISBN 5-8114-0395-X.
6. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.