Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$. Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}$${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=0$$\nu =0$, уравнение приобретает вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=0$${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ вещественно и не равно $0$$0$, уравнение сводится к случаю $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1$$\nu =1$ : для $\nu <0$ нужно сначала сделать замену $u\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->u$$u\to -u$, $x\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->x$$x\to -x$, и для любого знака $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$: $u\to <!--\; \to \; -->\sqrt{|\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}|}u$$u\to {\sqrt {|\nu |}}\,u$, $x\to <!--\; \to \; -->\sqrt{|\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}|}x$$x\to {\sqrt {|\nu |}}\,x$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1$$\nu =1$) нужно сделать замену функции:

$u=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\ln <!--\; \; -->w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=w_x/w$$u={\frac {\partial \ln w}{\partial x}}=w_{x}/w$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

$u(x,t)=2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\ln <!--\; \; -->\{(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t{)}^{-<!--\; -\; -->1/2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->[-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{)}^2}{4t}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x^{\prime }}u(x^{″},0)d{x}^{″}]d{x}^{\prime }\}.$$u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \}}.$

См. такжеПравить

• Уравнение Курамото-Сивашински

ЛитератураПравить

Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

СсылкиПравить

• Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.