Уплощённая треугольная клиноротонда

Уплощённая треуго́льная клинорото́нда — один из многогранников Джонсона (J₉₂, по Залгаллеру — М₂₀).

Уплощённая треугольная клиноротонда
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	20 граней 36 рёбер 18 вершин Χ = 2
Грани	13 треугольников 3 квадрата 3 пятиугольника 1 шестиугольник
Конфигурация вершины	3(33.5) 6(3.4.3.5) 3(3.5.3.5) 2x3(32.4.6)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J92, М20
Группа симметрии	C3v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 20 граней: 13 правильных треугольников, 3 квадратов, 3 правильных пятиугольников и 1 правильного шестиугольника. Шестиугольная грань окружена тремя квадратными и тремя треугольными; каждая пятиугольная — пятью треугольными; каждая квадратная — шестиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 1 грань окружена тремя пятиугольными, 3 грани — двумя пятиугольными и квадратной, 6 граней — пятиугольной, квадратной и треугольной, остальные 3 — шестиугольной и двумя треугольными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между шестиугольной и квадратной гранями, 3 ребра — между шестиугольной и треугольной, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 9 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 6 — между двумя треугольными.

У уплощённой треугольной клиноротонды 18 вершин. В 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 6 вершинах (расположенных как вершины неправильного плоского шестиугольника) сходятся пятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся пятиугольная и три треугольных грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильного шестиугольника) сходятся шестиугольная, квадратная и две треугольных грани.

Метрические характеристикиПравить

Если уплощённая треугольная клиноротонда имеет ребро длины $a$$a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(12+19\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{16,388}6735a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(12+19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 16{,}3886735a^{2},$ 

$V=\frac{1}{6}\left(15+7\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{5,108}7460a^3.$$V={\frac {1}{6}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 5{,}1087460a^{3}.$ 

В координатахПравить

Уплощённую треугольную клиноротонду с длиной ребра $2$$2$  можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели следующие координаты:

• треугольник, параллельный шестиугольнику:

$\left(0;\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{2{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2}{\sqrt{3}}\right),$$\left(0;\;{\frac {2}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2\Phi ^{2}}{\sqrt {3}}}\right),$  $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2}{\sqrt{3}}\right);$$\left(\pm 1;\;-{\frac {1}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2\Phi ^{2}}{\sqrt {3}}}\right);$ 

• основания треугольников, имеющих с первым треугольником общую вершину:

$\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;\frac{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^3}{\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\sqrt{3}}\right),$$\left(\pm 1;\;{\frac {\Phi ^{3}}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2\Phi }{\sqrt {3}}}\right),$  $\left(\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2;-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\sqrt{3}}\right),$$\left(\pm \Phi ^{2};\;-{\frac {1}{\Phi {\sqrt {3}}}};\;{\frac {2\Phi }{\sqrt {3}}}\right),$  $\left(\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->};-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}+2}{\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\sqrt{3}}\right);$$\left(\pm \Phi ;\;-{\frac {\Phi +2}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2\Phi }{\sqrt {3}}}\right);$ 

• вершины пятиугольников напротив первого треугольника:

$\left(\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2;\frac{{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}}\right),$$\left(\pm \Phi ^{2};\;{\frac {\Phi ^{2}}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2}{\sqrt {3}}}\right),$  $\left(0;-<!--\; -\; -->\frac{2{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}}\right);$$\left(0;\;-{\frac {2\Phi ^{2}}{\sqrt {3}}};\;{\frac {2}{\sqrt {3}}}\right);$ 

• шестиугольник:

$\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3};0\right),$$\left(\pm 1;\;\pm {\sqrt {3}};\;0\right),$  $\left(\pm <!--\; \pm \; -->2;0;0\right),$$\left(\pm 2;\;0;\;0\right),$ 

где $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$  — отношение золотого сечения.

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Уплощённая треугольная клиноротонда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.