Упаковка кругов в правильном треугольнике

Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28^[1]^[2]^[3].

Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда $\text{[math]}$ n является треугольным числом, оптимальная упаковка $\text{[math]}$ n − 1 и $\text{[math]}$ n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для $\text{[math]}$ n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки $\text{[math]}$ n кругов^[4]^[5].

Минимальные по длине стороны треугольника решения^[1]:

Число кругов	Длина стороны треугольника
1	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2{\sqrt {3}}$ $2{\sqrt {3}}$ = 3.464...
2	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2+2{\sqrt {3}}$ $2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...
3	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2+2{\sqrt {3}}$ $2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...
4	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4{\sqrt {3}}$ $4{\sqrt {3}}$ = 6.928...
5	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4+2{\sqrt {3}}$ $4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...
6	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4+2{\sqrt {3}}$ $4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...
7	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2+4{\sqrt {3}}$ $2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928...
8	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ $2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293...
9	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $6+2{\sqrt {3}}$ $6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...
10	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $6+2{\sqrt {3}}$ $6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...
11	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ $4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730...
12	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4+4{\sqrt {3}}$ $4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928...
13	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ $4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406...
14	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $8+2{\sqrt {3}}$ $8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...
15	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $8+2{\sqrt {3}}$ $8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...

Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом^[6].

См. такжеПравить

Упаковка кругов в прямоугольном равнобедренном треугольнике^[en]
Окружности Мальфатти, построение, дающее оптимальное решение для трёх кругов в равнобедренном треугольнике

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Melissen, 1993, с. 916–925.
↑ Melissen, Schuur, 1995, с. 333–342.
↑ Graham, Lubachevsky, 1995, с. 39 Article 1.
↑ Oler, 1961, с. 153–155.
↑ Payan, 1997, с. 555–565.
↑ Nurmela, 2000, с. 241–250.

ЛитератураПравить

Hans Melissen. Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — С. 916–925. — doi:10.2307/2324212.
J. B. M. Melissen, P. C. Schuur. Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle // Discrete Mathematics. — 1995. — Т. 145, вып. 1-3. — С. 333–342. — doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C.
Ronald Graham, B. D. Lubachevsky. Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond // Electronic Journal of Combinatorics. — 1995. — Т. 2. — С. Article 1, approx. 39 pp. (electronic).
Norman Oler. A finite packing problem // Canadian Mathematical Bulletin. — 1961. — Т. 4. — С. 153–155. — doi:10.4153/CMB-1961-018-7.
Charles Payan. Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler (Fr) // Discrete Mathematics. — 1997. — Т. 165/166. — С. 555–565. — doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4.
Kari J. Nurmela. Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles // Experimental Mathematics. — 2000. — Т. 9, вып. 2. — С. 241–250. — doi:10.1080/10586458.2000.10504649.

[_54059e9280c79d7c-1] ¹ ² Melissen, 1993, с. 916–925.

[_a133f053ca814676-2] Melissen, Schuur, 1995, с. 333–342.

[_6acab5e55e397931-3] Graham, Lubachevsky, 1995, с. 39 Article 1.

[_519d3d60ac29c8b5-4] Oler, 1961, с. 153–155.

[_834f2d3e81e2d242-5] Payan, 1997, с. 555–565.

[_b7727da15f53a37e-6] Nurmela, 2000, с. 241–250.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]