Удлинённая пятиугольная пирамида

Удлинённая пятиуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона (J₉, по Залгаллеру — М₃+П₅).

Удлинённая пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	11 граней 20 рёбер 11 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 5 квадратов 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(42.5) 5(32.42) 1(35)
Двойственный многогранник	Удлинённая пятиугольная пирамида
Развёртка
Классификация
Обозначения	J9, М3+П5
Группа симметрии	C5v

Составлена из 11 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной, двумя квадратными и треугольной; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между двумя квадратными, 5 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 5 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 5 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу основаниями.

Метрические характеристикиПравить

Если удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$$a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(20+5\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{8,885}5409a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 8{,}8855409a^{2},$ 

$V=\frac{1}{24}\left(5+\sqrt{5}+6\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,021}9802a^3.$$V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\approx 2{,}0219802a^{3}.$ 

В координатахПравить

Удлинённую пятиугольную пирамиду с длиной ребра $2$$2$  можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;-<!--\; -\; -->\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}};\pm <!--\; \pm \; -->1\right),$$\left(\pm 1;\;-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$ 
• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{\frac{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}{10}};\pm <!--\; \pm \; -->1\right),$$\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\;{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}};\;\pm 1\right),$ 
• $\left(0;\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{5}};\pm <!--\; \pm \; -->1\right),$$\left(0;\;{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$ 
• $\left(0;0;1+\sqrt{\frac{10-<!--\; -\; -->2\sqrt{5}}{5}}\right).$$\left(0;\;0;\;1+{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\;\right).$ 

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из пяти плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Удлинённая пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.