Угловое ускорение

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение
$\mathit{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{\mathrm{d}\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{d}t}=\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}$${\boldsymbol \varepsilon }={\frac {{\mathrm d}{\boldsymbol \omega }}{{\mathrm d}t}}={\boldsymbol {\dot \omega }}$
Единицы измерения
СИ	рад/с2
СГС	рад/с2
Примечания
псевдовектор

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}.$${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}.$

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твёрдого тела при свободном движенииПравить

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела $B$$B$  при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_B={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_A+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB},$${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}},$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_A$${\vec v}_{A}$  — скорость точки тела $A$$A$ , принятой в качестве полюса; $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$\vec\omega$  — псевдовектор угловой скорости тела; $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}$${\vec {AB}}$  — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса, имеем

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_B}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_A}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB})$${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}})$ 

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_B}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_A}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_{BA}^{rot}}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_{BA}^{axis}},$${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{axis}}},$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_A$${\vec a}_{A}$  — ускорение полюса $A$$A$ ; $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}$${\vec \varepsilon }={\frac {d{\vec \omega }}{dt}}$  — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки $B$$B$ , вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки $B$$B$  вокруг полюса $A$$A$ 

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_{BA}^{rot}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}.$${\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}.$ 

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки $B$$B$  вокруг полюса $A$$A$ 

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_{BA}^{axis}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right).$${\vec {a}}_{BA}^{\,axis}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}\right).$ 

Геометрический смысл псевдовектора углового ускоренияПравить

Псевдовектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\vec \varepsilon }$  направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени $t$$t$  и в момент времени $t+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$t+\Delta t$ . Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$$\Delta t$ 

 

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}(t+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t)-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}(t).$$\Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).$ 

Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}}^{{}^{\prime }}.$${\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\vec {\varepsilon }}^{\,\,'}.$ 

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках $M_0$$M_{0}$  и $M_1$$M_{1}$ . Перейдём к пределу при $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t\to <!--\; \to \; -->0$$\Delta t\to 0$ 

$\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}=\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}.$$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\varepsilon }}.$ 

Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке $M_0$$M_{0}$  к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворотаПравить

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\times <!--\; \times \; -->\frac{d^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{d{t}^2}\right)+\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\left(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{dt}+\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\times <!--\; \times \; -->\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{dt}\right)+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\frac{d^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{d{t}^2}+\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u},$${\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt}}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},$ 

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$$\vec u$  — орт, задающий направление оси поворота; $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — угол, на который совершается поворот вокруг оси $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$$\vec u$ .

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной осиПравить

 

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела $O_1$$O_{1}$  и $O_2$$O_{2}$ , производные орта оси вращения равны нулю

$\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{dt}=\frac{d^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}{d{t}^2}=0.$${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.$ 

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$${\vec \varepsilon }={\ddot \varphi }\,{\vec u}$ 

или

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u},$${\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u}},$ 

где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\varepsilon ={\ddot \varphi }$  — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

($\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}>0$${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi }>0$ ),

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при ${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi }<0$ , векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t).$$\varphi =\varphi (t).$ 

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t_0).$$\varphi _{0}=\varphi (t_{0}).$ 

$s(t)=R\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0\right),$$s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),$ 

где $R$$R$  — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

$\frac{ds}{dt}=v_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=R\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dt}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}R,$${\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R,$ 

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dt}$$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$  — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_M={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_M^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_M^n,$${\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n},$ 

причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

$a_M^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{d{v}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}R\right)=R\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{dt}=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}R,$$a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right)=R\,{\frac {d\omega }{dt}}=\varepsilon \,R,$ 

где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{dt}=\frac{d^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{d{t}^2}$$\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}$  — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

$a_M^n=\frac{v_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}{R}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}R.$$a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.$ 

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота телаПравить

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга $\left(1,1\right)$$\left(1,\,1\right)$  (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

$B_m^p=\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)u^p{u}_m+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_m^p+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{g}^{pl}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{lkm}{u}^k,$$B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},$ 

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_m^p$$\delta _{\,m}^{\,p}$  — символ Кронекера; ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{lkj}$$\epsilon _{\,lkj}$  — тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^i=\frac{1}{2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{ikl}{g}_{lp}\left(B_m^{{}^{\prime }p}{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{B}}_k^m+{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{B}}_m^{{}^{\prime }p}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{B}}_k^m\right),$$\varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^{'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\,{\dot {B}}_{\,k}^{\,m}\right),$ 

где $B_m^{{}^{\prime }p}$$B_{\,m}^{'\,p}$  — тензор обратного преобразования, равный

$B_m^{{}^{\prime }p}=\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)u^p{u}_m+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_m^p-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{g}^{pl}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{lkm}{u}^k.$$B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k}.$ 

ЛитератураПравить

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986 — 416 С.
2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. — Брянск: БГТУ, 1997. — 197 С.