Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $m$$m$-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $2m$$2m$-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если $m$$m$ — степень двойки, то $m$$m$-мерное проективное пространство невозможно вложить в $(2m-<!--\; -\; -->1)$$(2m-1)$-мерное евклидово пространство.

Схема доказательстваПравить

Случаи $m=1$$m=1$  и $m=2$$m=2$  устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая $m⩾<!--\; ⩾\; -->3$$m\geqslant 3$  используется факт, что гладкое отображение общего положения $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$  является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки $p,q\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$p,q\in \mathbb {R} ^{2m}$  самопересечения отображения $f$$f$ , имеющие разные знаки. Возьмем точки $x_p,y_p,x_q,y_q\in <!--\; \in \; -->M$$x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$ , для которых $f(x_p)=f(y_p)=p$$f(x_{p})=f(y_{p})=p$  и $f(x_q)=f(y_q)=q$$f(x_{q})=f(y_{q})=q$ . Соединим $x_p$$x_{p}$  и $x_q$$x_{q}$  гладкой кривой $x\subset <!--\; \subset \; -->M$$x\subset M$ . Соединим $y_p$$y_{p}$  и $y_q$$y_{q}$  гладкой кривой $y\subset <!--\; \subset \; -->M$$y\subset M$ . Тогда $f(x\cup <!--\; \cup \; -->y)$$f(x\cup y)$  есть замкнутая кривая в ${\mathbb{R}}^{2m}$$\mathbb {R} ^{2m}$ . Далее построим отображение $h:<!--\; :\; -->D^2\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$  с границей $h(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}^2)=f(x\cup <!--\; \cup \; -->y)$$h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$ . В общем положении, $h$$h$  является вложением и $h(D^2)\cap <!--\; \cap \; -->f(M)=h(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}^2)$$h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$  (как раз здесь используется то, что $m⩾<!--\; ⩾\; -->3$$m\geqslant 3$ ). Тогда можно изотопировать $f$$f$  в маленькой окрестности диска $h(D^2)$$h(D^{2})$  так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для $m=1$$m=1$  (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова .

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку $p\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$p\in \mathbb{R} ^{{2m}}$  самопересечения отображения $f$$f$ . Возьмем точки $x,y\in <!--\; \in \; -->M$$x,y\in M$ , для которых $f(x)=f(y)=p$$f(x)=f(y)=p$ . Соединим $x$$x$  и $y$$y$  гладкой кривой $l\subset <!--\; \subset \; -->M$$l\subset M$ . Тогда $f(l)$$f(l)$  есть замкнутая кривая в ${\mathbb{R}}^{2m}$$\mathbb{R} ^{{2m}}$ . Далее построим отображение $h:<!--\; :\; -->D^2\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{2m}$$h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$  с границей $h(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}^2)=f(l)$$h(\partial D^{2})=f(l)$ . В общем положении, $h$$h$  является вложением и $h(D^2)\cap <!--\; \cap \; -->f(M)=h(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}^2)$$h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$  (как раз здесь используется то, что $m⩾<!--\; ⩾\; -->3$$m\geqslant 3$ ). Теперь можно изотопировать $f$$f$  в маленькой окрестности диска $h(D^2)$$h(D^{2})$  так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона и параграфе 8 обзора Скопенкова . Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщенияПравить

Пусть $M$$M$  есть гладкое $m$$m$ -мерное многообразие, $m>1$$m>1$ .

• Если $m$$m$  не является степенью двойки, тогда существует вложение $M$$M$  в ${\mathbb{R}}^{2m-<!--\; -\; -->1}$$\mathbb{R} ^{{2m-1}}$ 
• $M$$M$  может быть погружено в ${\mathbb{R}}^{2m-<!--\; -\; -->1}$$\mathbb{R} ^{{2m-1}}$ 
  • Более того $M$$M$  может быть погружено в ${\mathbb{R}}^{2m-<!--\; -\; -->a}$$\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ , где $a$$a$  есть число единиц в двоичном представлении $m$$m$ .
    • Последний результат оптимален, для любого $m$$m$  можно построить $m$$m$ -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в ${\mathbb{R}}^{2m-<!--\; -\; -->a-<!--\; -\; -->1}$$\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$ .

См. также

ЛитератураПравить

Оревков С.Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник "Математическое Просвещение". Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102