Трилинейная система координат

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}:\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})$$(\alpha :\beta :\gamma )$ — барицентрические координаты точки $X$$X$ относительно треугольника $ABC$$ABC$, а $a,b,c$$a,b,c$ — длины его сторон, то

$(x:y:z)=\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{a}:\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{b}:\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{c}\right)$$(x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)$

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки $X$$X$, лежащей внутри треугольника $ABC$$ABC$, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников $(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$$(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$. Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки $X$$X$ до сторон треугольника — абсолютные трилинейные координаты. Если точка $X$$X$ лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки $X$$X$ и $A$$A$ лежат по одну сторону от прямой $BC$$BC$, то $x>0$$x>0$, а если по разные, то $x<0$.

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой $(x:y:z)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x^{-<!--\; -\; -->1}:y^{-<!--\; -\; -->1}:z^{-<!--\; -\; -->1})$$(x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})$. В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.