Трилинейная интерполяция

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ $f$ в точке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ , используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике^{[источник не указан 3751 день]}.

Сравнение с линейной и билинейной интерполяциейПравить

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=1$ , и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=2$ , на пространство размерности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D=3$ . Для того чтобы интерполировать значения функции в точке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,y,z)$ , необходимо знать значения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ в 8 смежных точках, окружающих $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,y,z)$ .

Интерполяция действительной функцииПравить

Допустим, требуется интерполировать значение функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ в точке $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x,y,z)$ . Пусть даны значения функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f$ в окружающих точках $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(x_{i},y_{j},z_{k})$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i=1,2$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $j=1,2$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k=1,2$ , причем $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{1}<x<x_{2}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y_{1}<y<y_{2}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $z_{1}<z<z_{2}$ . Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

\text{[math]}

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}).\end{aligned}}

В частности, в единичном кубе ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$ ):

\text{[math]}

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\&+f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz.\end{aligned}}