Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр

Три́жды скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₅, по Залгаллеру — 3М₆+М₁₃).

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	5x6(3.42.5) 4x3+3x6(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J75, 3М6+М13
Группа симметрии	C3v

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 3 окружены пятью квадратными, 3 — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 6 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 3 окружены двумя пятиугольными и двумя квадратными, 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, 9 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 15 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены тремя квадратными, остальные 15 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 45 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между двумя квадратными, остальные 45 — между квадратной и треугольной.

У трижды скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём три части — любые три попарно не пересекающихся пятискатных купола (J₅), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристикиПравить

Если трижды скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$$a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\left(30+5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{59,305}9828a^2,$$S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},$ 

$V=\frac{1}{3}\left(60+29\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{41,615}3238a^3.$$V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.$ 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,232}9505a;$$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,176}2509a.$$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.