Треугольник Кеплера

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$

которое может быть записано в виде : $1:\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}:\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi$, или приблизительно 1 : 1.272 : 1.618 Квадраты сторон этого треугольника (см. рисунок) составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

Треугольники с таким соотношением сторон были названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571—1630), который первым продемонстрировал, что в таких треугольниках отношение длины короткого катета к гипотенузе равно золотому сечению. Таким образом, треугольник Кеплера объединяет в себе два ключевых математических понятия — теорему Пифагора и золотое сечение, по поводу чего Кеплер отметил:

В геометрии существует два сокровища: одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение линии в золотой пропорции. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. Иоганн Кеплер

—

Некоторые источники утверждают, что соотношение сторон знаменитых пирамид в Гизе приближается к треугольнику Кеплера.

СледствиеПравить

Тот факт, что треугольник со сторонами $1$$1$ , $\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$${\sqrt {\varphi }}$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  образует прямоугольный треугольник, прямо следует из переписывания квадратного трёхчлена для золотого сечения $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ :

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+1$$\varphi ^{2}=\varphi +1$ 

в виде теоремы Пифагора:

$(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{)}^2=(\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{)}^2+(1{)}^2.$$(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.$ 

Отношение к среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническомуПравить

Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником Кеплера.

Построение треугольника КеплераПравить

 

Метод построения треугольника Кеплера через золотое сечение.

Треугольник Кеплера может быть построен с помощью циркуля и линейки через построение золотого сечения следующим образом:

1. Построить простой квадрат
2. Провести линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу
3. Использовать эту линию в качестве радиуса дуги, определяющей высоту прямоугольника
4. Дополнить до золотого сечения
5. Использовать длинную сторону прямоугольника золотого сечения в качестве радиуса дуги, которая, пересекая противоположную сторону прямоугольника, задаёт длину гипотенузы треугольника Кеплера.

Сам Кеплер строил этот треугольник по-другому. В письме к своему бывшему учителю, профессору Михаэлю Мёстлину, он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник таким образом, что прямой угол будет находиться в точке раздела, то меньшая сторона будет равняться большему сегменту разделенной линии.».

Математическое совпадениеПравить

Возьмём треугольник Кеплера со сторонами $a,a\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}},a\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,$  и рассмотрим:

• окружность, которая окружает его, и
• квадрат со стороной, равной средней по величине стороне треугольника.

Тогда периметр квадрата ($4a\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$4a{\sqrt {\varphi }}$ ) и длина окружности ($a\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$a\pi \varphi$ ) совпадают с точностью до 0,1 %.

Это математическое совпадение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->4/\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}$ . Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->4/\sqrt{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}$  поскольку $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — трансцендентное число.