Транспозиционная матрица

Транспозиционная матрица ($Tr$$Tr$-матрица) — квадратная матрица размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ ($n=2^m$$n=2^{m}$, $m\in <!--\; \in \; -->N$$m\in N$), элементы которой получаются из элементов заданного $n$$n$-мерного вектора $X=(x_i)$$X=(x_{i})$ по формуле:

$Tr(X{)}_{i,j}=x_{(i-<!--\; -\; -->1)\oplus <!--\; \oplus \; -->(j-<!--\; -\; -->1)+1}$$Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}$,

где символом $\oplus <!--\; \oplus \; -->$$\oplus$ обозначена битовая операция «сложение по модулю 2». Строки и столбцы транспозиционной матрицей являются перестановками вектора $X$$X$; каждая строка и столбец $Tr(X)$$Tr(X)$ содержит все элементы вектора $X$$X$ без повторений. $Tr$$Tr$-матрица бисимметрична: $T{r}_{i,j}=T{r}_{j,i})$$Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ и $T{r}_{i,j}=T{r}_{n-<!--\; -\; -->j+1,n-<!--\; -\; -->i+1}$$Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1}$ для любых $i$$i$ и $j$$j$.

Например, транспозиционная матрица $Tr(X)$$Tr(X)$, полученная из вектора:

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\end{array}\right)$$X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}$

имеет вид:

$Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}$.

Свойство четвёрокПравить

 

Четвёрки из элементов в $Tr$$Tr$ -матрице — диагональные элементы в них равны

Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит $n/2$$n/2$  четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если $T{r}_{p,q}$$Tr_{p,q}$  и $T{r}_{u,q}$$Tr_{u,q}$  — два случайно выбранных элемента из одного столбца $q$$q$  матрицы $Tr$$Tr$ , то из этого свойства следует, что $Tr$$Tr$ -матрица содержит четвёрку из элементов $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$$(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ , для которой выполняются уравнения $T{r}_{p,q}=T{r}_{u,v}$$Tr_{p,q}=Tr_{u,v}$  и $T{r}_{u,q}=T{r}_{p,v}$$Tr_{u,q}=Tr_{p,v}$ . Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для $Tr$$Tr$ -матриц.

Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строкамиПравить

Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы $Tr$$Tr$  матрицу со взаимно ортогональными строками $Trs$$Trs$  путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$$(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ , $p,q,u,v\in <!--\; \in \; -->[1,n]$$p,q,u,v\in [1,n]$ . Существует алгоритм построения $Trs$$Trs$ -матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы $Tr$$Tr$  и $n$$n$ -мерной матрицы Адамара $H=(h_{ij})$$H=(h_{ij})$ , строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы $Trs$$Trs$  взаимно ортогональны:

$Trs(X)=Tr(X)\circ <!--\; \circ \; -->H(R)$$Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)$ 

$Trs.{Trs}^T=\parallel <!--\; \parallel \; -->X{\parallel <!--\; \parallel \; -->}^2.I_n$$Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}$ 

где:

«$\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$ » — произведение Адамара,

$I_n$$I_{n}$  — единичная матрица,

$H(R)$$H(R)$  — $n$$n$ -мерная матрица Адамара с перестановкой строк $R=[1,r_2,...r_n{]}^T,r_2,...r_n\in <!--\; \in \; -->[2,n]$$R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]$ , которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;

$X$$X$  — вектор, из которого выводятся элементы $Tr$$Tr$ -матрицы.

Порядок $R$$R$  строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц $Trs$$Trs$  размеров 2, 4 и 8. Порядок $R$$R$  строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора $X$$X$ . Было доказано, что если $X$$X$  — единичный вектор ($\parallel <!--\; \parallel \; -->X\parallel <!--\; \parallel \; -->=1$$\parallel X\parallel =1$ ), то $det(Trs)=-<!--\; -\; -->1$$det(Trs)=-1$ .

Пример получения матрицы TrsПравить

Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками $Trs(X)$$Trs(X)$  при $n=4$$n=4$ , получается из вектора $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4\end{array}\right)$$X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}$  по формуле:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}$ ,

где $Tr(X)$$Tr(X)$  — $Tr$$Tr$  матрица, полученная из вектора $X$$X$ , H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы $Trs(X)$$Trs(X)$  содержит элементы вектора $X$$X$  без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы $Trs$$Trs$  взаимно ортогональны:

$Trs(X).X=\parallel <!--\; \parallel \; -->X{\parallel <!--\; \parallel \; -->}^2.[1,0,0,0{]}^T$$Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}$ ,

следовательно, матрица $Trs$$Trs$  вращает вектор $X$$X$ , из которого она получена, в направлении оси $x_1$$x_{1}$ . Порядок $R$$R$  строк матрицы Адамара не зависит от вектора $X$$X$ . Опубликованы примеры генерации матриц $Tr$$Tr$  и $Trs$$Trs$  для $n=2,4,8$$n=2,4,8$ . Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.

ЛитератураПравить

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
• Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.

СсылкиПравить

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html