Точка Ферма

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точку Ферма также иногда называют точкой Торричелли или точкой Ферма-Торричелли. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника. В английской литературе точку Ферма также называют изогональным центром (isogonic center) X(13).

Построение точки Ферма для треугольников с углами, не превосходящими 120°.

ИсторияПравить

Точка Ферма впервые предложена Ферма: "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas". P. de Fermat, «Œuvres de Fermat», 1679, Livre I, Paris.(лат. "Для трех заданных точек найти четвертую, такую что если от неё провести прямые линии до данных точек, сумма расстояний будет наименьшей". П. Ферма).

СвойстваПравить

Теорема Лестера. В любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

ПостроениеПравить

Теорема (Э. Торричелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника $ABC$$ABC$  во внешнюю сторону равносторонние треугольники $AB{C}^{\prime }$$ABC'$ , $BC{A}^{\prime }$$BCA'$ , $CA{B}^{\prime }$$CAB'$ . Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые $A{A}^{\prime }$$AA'$ , $B{B}^{\prime }$$BB'$ , $C{C}^{\prime }$$CC'$  пересекаются в одной точке $X$$X$ . Если все углы треугольника $ABC$$ABC$  не превосходят ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ , то $X$$X$  лежит в треугольнике $ABC$$ABC$  и является точкой Ферма $S$$S$ . В этом случае углы между отрезками $AS$$AS$ , $BS$$BS$  и $CS$$CS$  равны между собой и, значит, равны ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ . Более того, длины отрезков $A{A}^{\prime }$$AA'$ , $B{B}^{\prime }$$BB'$  и $C{C}^{\prime }$$CC'$ , называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны $AS+BS+CS$$AS+BS+CS$ . Если один из углов треугольника $ABC$$ABC$  больше ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ , то $X$$X$  лежит вне треугольника $ABC$$ABC$ , а точка Ферма $S$$S$  совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ , точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

 

Экспериментальное построение точки Ферма.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$  и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузы одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника $ABC$$ABC$ .

ЗамечаниеПравить

Кстати, на первом рисунке справа центры трёх равносторонних треугольников сами являются вершинами нового равностороннего треугольника (Теорема Наполеона). Кроме того, $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$$AA'=BB'=CC'$ .

Нахождение точки Ферма. Множители ЛагранжаПравить

Есть подход к нахождению точки внутри треугольника, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна, заключается в использовании одного из методов оптимизации в математике. В частности, метод множителей Лагранжа и теоремы косинусов.

Мы рисуем линии от точки внутри треугольника до его вершин и называем их X, Y и Z. Кроме того, пусть длины этих линий равны x, y и z соответственно. Пусть угол между X и Y равен α, Y и Z - β. Тогда угол между X и Z равен (2π - α - β). Используя метод множителей Лагранжа, мы должны найти минимум лагранжиана L, который выражается как:

L = x + y + z + λ₁ (x² + y² − 2xy cos(α) − a²) + λ₂ (y² + z² − 2yz cos(β) − b²) + λ₃ (z² + x² − 2zx cos(α + β) − c²)

где a, b и c - длины сторон треугольника.

Приравнивая каждую из пяти частных производных δL/δx, δL/δy, δL/δz, δL/δα, δL/δβ нулю и исключая λ₁, λ₂, λ₃, в конечном итоге получаем sin (α) = sin (β) и sin (α + β) = - sin (β), поэтому α = β = 120 °. Однако выкладки являются долгим и утомительным делом, и конечный результат охватывает только Случай 2, когда ни один из углов ≥ 120°.

Точка ТорричеллиПравить

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ . Существует только в треугольниках с углами, меньшими ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$120^{\circ }$ , при этом она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

См. такжеПравить

• Замечательные точки треугольника
• Проблема Штейнера
• Окружность Лестера
• Точки Торричелли

ЛитератураПравить

• Энциклопедия для детей / Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — 688 с.
• А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — ISBN 5-93972-292-X.

СсылкиПравить

• Точка Ферма
• Точка Торричелли
• Практический пример построения точки Ферма (англ.)