Точка Брокара

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга).

Точка Брокара
Точка Брокара $P$$P$ треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$, построенная как точка пересечения трёх окружностей
Барицентрические координаты	$\frac{1}{a^2}:\frac{1}{b^2}:\frac{1}{c^2}$${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Трилинейные координаты	$\frac{1}{a^3}:\frac{1}{b^3}:\frac{1}{c^3}$${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
Код ЭЦТ	X(76)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Лемуана

Названы по имени французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

В энциклопедии центров треугольника первая точка Брокара идентифицируется как $X(39)$$X(39)$.

ОпределениеПравить

В треугольнике $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  со сторонами $a$$a$ , $b$$b$ , и $c$$c$ , противолежащими вершинам $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$  соответственно, имеется всего одна точка $P$$P$  такая, что отрезки прямых $AP$$AP$ , $BP$$BP$  и $CP$$CP$  образуют один и тот же угол $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  со сторонами $c$$c$ , $a$$a$  и $b$$b$  соответственно: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PAB=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PBC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PCA$$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ . Точка $P$$P$  называется первой точкой Брокара треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$ , а угол $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  выполняется следующее тождество: $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB$$\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$ . Для угла Брокара $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  выполняется следующее неравенство Йиффа: $8{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^3\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC,\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB$$\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$  — углы искомого треугольника.

В треугольнике $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  имеется также вторая точка Брокара $Q$$Q$ , такая, что отрезки прямых $AQ$$AQ$ , $BQ$$BQ$  и $CQ$$CQ$  образуют один и тот же угол со сторонами $b$$b$ , $c$$c$  и $a$$a$  соответственно: $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QCB=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QBA=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QAC$$\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ . Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PBC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PCA=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}PAB$$\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$  равен углу $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QCB=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QBA=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}QAC$$\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ .

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  совпадает со второй точкой Брокара треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ACB$$\triangle ACB$ .

ПостроениеПравить

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  проводится окружность через точки $A$$A$  и $B$$B$ , касающаяся стороны $BC$$BC$  (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне $AB$$AB$  с прямой, проходящей через $B$$B$  и перпендикулярной $BC$$BC$ ); аналогичным образом строится окружность через точки $B$$B$  и $C$$C$  и касающуюся стороны $AC$$AC$ ; третья окружность — через точки $A$$A$  и $C$$C$  и касающаяся стороны $AB$$AB$ . Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$ . Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через $A$$A$  и $B$$B$ , касающаяся $AC$$AC$ ; через $B$$B$  и $C$$C$ , касающаяся $AB$$AB$ ; через $A$$A$  и $C$$C$ , касающаяся $BC$$BC$ .

СвойстваПравить

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара есть $c/b:a/c:b/a$$c/b:a/c:b/a$  и $b/c:c/a:a/b$$b/c:c/a:a/b$  соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно $c^2{a}^2:a^2{b}^2:b^2{c}^2$$c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$  и $a^2{b}^2:b^2{c}^2:c^2{a}^2.$$a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$ 

Точки Брокара лежат на окружности Брокара — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара. Точки Брокара сопряжены изогонально.

Точка Брокара — одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с тремя его сторонами, измеренными в трёх его вершинах.

См. такжеПравить

• Окружность Брокара
• Окружность Нойберга
• Окружности Схоуте
• Треугольник Брокара

ЛитератураПравить

• С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1940. — С. 81—89. — 96 с.
• Akopyan, A. V. & Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society, с. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9 
• Honsberger, Ross (1995), Chapter 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America 
• Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение (Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"). М.:МЦНМО, 2000. 24 с.
• Яковлев И. В. Материалы по математике. Изогональное сопряжение. С. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf