Точка Штейнера

Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

Точка Штейнера
Названо в честь	Якоб Штейнер
Медиафайлы на Викискладе

ИсторияПравить

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году.

ОпределениеПравить

 

Прямая, проходящая через $A$$A$ , параллельна $B^{\prime }{C}^{\prime }$$B'C'$ , прямая, проходящая через $B$$B$ , параллельна $C^{\prime }{A}^{\prime }$$C'A'$ , и прямая, проходящая через $C$$C$ , параллельна $A^{\prime }{B}^{\prime }$$A'B'$  пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.)

Пусть дан любой треугольник $ABC$$ABC$ . Пусть $O$$O$  — его центр описанной окружности и $K$$K$  — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на $OK$$OK$  как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника $ABC$$ABC$ . Прямая, проходящая через $O$$O$  перпендикулярно к прямой $BC$$BC$ , пересекает окружность Брокара в другой точке $A^{\prime }$$A'$ . Прямая, проходящая через $O$$O$  перпендикулярно к прямой $CA$$CA$ , пересекает окружность Брокара в другой точке $B^{\prime }$$B'$ . Прямая, проходящая через $O$$O$  перпендикулярно к прямой $AB$$AB$ , пересекает окружность Брокара в другой точке $C^{\prime }$$C'$  (треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$A'B'C'$  есть треугольник Брокара для треугольника $ABC$$ABC$ ). Пусть $L_A$$L_{A}$  есть прямая, проходящая через $A$$A$  параллельно прямой $B^{\prime }{C}^{\prime }$$B'C'$ , $L_B$$L_{B}$  есть прямая, проходящая через $B$$B$  параллельно прямой $C^{\prime }{A}^{\prime }$$C'A'$ , и $L_C$$L_{C}$  есть прямая, проходящая через $C$$C$  параллельно прямой $A^{\prime }{B}^{\prime }$$A'B'$ . Тогда все три прямых $L_A$$L_{A}$ , $L_B$$L_{B}$  и $L_C$$L_{C}$  пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника $ABC$$ABC$ .

Трилинейные координатыПравить

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

$\left(\frac{bc}{b^2-<!--\; -\; -->c^2}:\frac{ca}{c^2-<!--\; -\; -->a^2}:\frac{ab}{a^2-<!--\; -\; -->b^2}\right)=(b^2{c}^2\mathrm{cosec}<!--\; \; -->(B-<!--\; -\; -->C):c^2{a}^2\mathrm{cosec}<!--\; \; -->(C-<!--\; -\; -->A):a^2{b}^2\mathrm{cosec}<!--\; \; -->(A-<!--\; -\; -->B))$$\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatorname {cosec} (B-C):c^{2}a^{2}\operatorname {cosec} (C-A):a^{2}b^{2}\operatorname {cosec} (A-B))$ .

СвойстваПравить

• Описанный вокруг треугольника $ABC$$ABC$  эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$ . Точка Штейнера треугольника $ABC$$ABC$  лежит на описанном вокруг треугольника $ABC$$ABC$  эллипсе Штейнера.
• Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.
• Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника $ABC$$ABC$  массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника $ABC$$ABC$  и имеет трилинейные координаты:

$\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->A}{a}:\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->B}{b}:\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->C}{c}\right)$$\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)$ .

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

• Прямая Симсона точки Штейнера треугольника $ABC$$ABC$  параллельна прямой $OK$$OK$ , где $O$$O$  — центр описанной окружности и $K$$K$  — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника $ABC$$ABC$ .

Точка ТарриПравить

 

Прямая, проходящая через $A$$A$  перпендикулярно к $B^{\prime }{C}^{\prime }$$B'C'$ , прямая, проходящая через $B$$B$  перпендикулярно к $C^{\prime }{A}^{\prime }$$C'A'$ , и прямая, проходящая через $C$$C$  перпендикулярно к $A^{\prime }{B}^{\prime }$$A'B'$ , пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть $ABC$$ABC$  — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника $ABC$$ABC$ , диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника $ABC$$ABC$ . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

$(\sec <!--\; \; -->(A+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}):\sec <!--\; \; -->(B+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}):\sec <!--\; \; -->(C+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))$$(\operatorname {sec} (A+\omega ):\operatorname {sec} (B+\omega ):\operatorname {sec} (C+\omega ))$ ,

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  является углом Брокара треугольника $ABC$$ABC$ .

См. такжеПравить

• Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.