Точка Аполлония

Не следует путать с Точки Аполлония.

Точка Аполлония Ap — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Пример применения точки Аполлония к решению задачи АполлонияПравить

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония Ap.

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

Окружность АполлонияПравить

Определение окружности АполлонияПравить

 

Точка Аполлония и окружность Аполлония

• Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок).

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность E, касающаяся трех данных окружностей E_A, E_B и E_C внешним образом.

Радиус окружности АполлонияПравить

Радиус окружности Аполлония равен $\frac{r^2+s^2}{4r}$${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония ApПравить

• Точка Аполлония Ap или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-ом году, определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

• Ее трилинейные координаты:

$\frac{a(b+c{)}^2}{b+c-<!--\; -\; -->a}:\frac{b(c+a{)}^2}{c+a-<!--\; -\; -->b}:\frac{c(a+b{)}^2}{a+b-<!--\; -\; -->c}$${\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}$ 

ЗамечаниеПравить

На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей E_A, E_B и E_C. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

СвойствоПравить

• Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.

Трилинейные координатыПравить

Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:

$\frac{a(b+c{)}^2}{b+c-<!--\; -\; -->a}:\frac{b(c+a{)}^2}{c+a-<!--\; -\; -->b}:\frac{c(a+b{)}^2}{a+b-<!--\; -\; -->c}$${\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}$ 

$={\sin }^2<!--\; \; -->A{\cos }^2<!--\; \; -->(\frac{B}{2}-<!--\; -\; -->\frac{C}{2}):{\sin }^2<!--\; \; -->B{\cos }^2<!--\; \; -->(\frac{C}{2}-<!--\; -\; -->\frac{A}{2}):{\sin }^2<!--\; \; -->C{\cos }^2<!--\; \; -->(\frac{A}{2}-<!--\; -\; -->\frac{B}{2}).$$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).$ 

См. такжеПравить

• Точки Аполлония