Материальная точка

Материа́льная то́чка (материа́льная части́ца, то́чечная ма́сса) — обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Является простейшей физической моделью в механике. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки и задаётся радиус-вектором $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$.

В классической механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами.

При аксиоматическом подходе к построению классической механики в качестве одной из аксиом принимается: «Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр, называемый массой: $(\mathbf{r},m)$$(\mathbf {r} ,m)$, $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$ — вектор в евклидовом пространстве, отнесённом к какой-либо декартовой системе координат. Масса полагается постоянной, не зависящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».

Если тело участвует только в прямолинейном движении, то для определения его положения достаточно одной координатной оси.

ИспользованиеПравить

Модель материальной точки используется (нередко неявно) в большом числе учебных и практических задач. Среди таковых — упражнения на нахождение параметров движения автомобилей из пункта А в пункт B, анализ траектории брошенного под углом к горизонту камня, рассмотрение соударения материальных частиц, изучение поведения тел в центральном гравитационном или электростатическом поле.

В курсах механики выделяются специальные разделы «кинематика точки» и «динамика точки».

ОсобенностиПравить

Применимость модели материальной точки к конкретному телу зависит не столько от размеров самого тела, сколько от условий его движения и характера решаемой задачи. Скажем, при описании движения Земли вокруг Солнца она вполне может рассматриваться как материальная точка, а при анализе суточного вращения Земли использование такой модели недопустимо.

Важным случаем применения модели является ситуация, когда собственные размеры тел значительно меньше иных фигурирующих в задаче размеров. Так, выражение для силы гравитационного притяжения двух объёмных объектов любых форм с увеличением расстояния между этими объектами всегда переходит в известный закон взаимодействия точечных масс.

В соответствии с теоремой о движении центра масс системы, при поступательном движении любое твёрдое тело можно считать материальной точкой, положение которой совпадает с центром масс тела.

Масса, положение, скорость и некоторые другие физические свойства материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение.

СледствияПравить

Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пространстве. Вместе с этим модель, описывающая движение тела как движение материальной точки, при котором изменяются её расстояние от некоторого мгновенного центра поворота и два угла Эйлера (задающие направление линии «центр — точка»), чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.

Плотность [кг/м³] для материальной точки, положение которой задано радиус-вектором ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0=x_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}+y_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}+z_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}$$\,{\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}\,$  ($\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$$\vec{i}$ , $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec{j}$ , $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}$$\vec{k}$  — орты), можно записать как $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=m\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0)=m\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->x_0)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(y-<!--\; -\; -->y_0)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(z-<!--\; -\; -->z_0)$$\rho ({\vec {r}})=m\cdot \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=m\cdot \delta (x-x_{0})\delta (y-y_{0})\delta (z-z_{0})$ . Здесь $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$  — декартовы координаты, а $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — дельта-функция (одномерная если её аргументом выступает разность координат, или трёхмерная если радиус-векторов); при этом интеграл по всему пространству $\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})dV$$\int \rho ({\vec {r}})dV$  равен массе точки $m$$m$ . Плотность бесконечна в месте нахождения точки и равна нулю в остальном пространстве.

Свободные/несвободные точкиПравить

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо механическими связями, называется свободной. Примерами свободных материальных точек являются искусственный спутник Земли на околоземной орбите и летящий самолёт (если пренебречь их вращениями).

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки является движущийся по рельсам трамвай (если пренебречь его формой и размерами).

ОграниченияПравить

Ограниченность сферы применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами. В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары́ металлов и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.