Топологическая энтропия

Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.

ОпределениеПравить

Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика $d_n$$d_{n}$  на X определяется как

$d_n(x,y)=\underset{0\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->n}{max}d(T^j(x),T^j(y)),$$d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),$ 

иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0,$$\varepsilon >0,$  говорят, что множество — $(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$(n,\varepsilon )$ -отделённое, если попарные $d_n$$d_{n}$ -расстояния между его точками не меньше $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , и мощность наибольшего такого множества обозначается через $N(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N(n,\varepsilon )$ . Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел

$h(T)=\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}\frac{1}{n}\log <!--\; \; -->N(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}).$$h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\varepsilon ).$ 

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через $M(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$M(n,\varepsilon )$  мощность наименьшей $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -сети, то

$h(T)=\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}\frac{1}{n}\log <!--\; \; -->M(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}).$$h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log M(n,\varepsilon ).$ 

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств $N(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\le <!--\; \le \; -->M(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\le <!--\; \le \; -->N(n,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/2).$$N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$  Стоит отметить, что и то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

ЛитератураПравить

• Adler, R.L.; Konheim, Allan G.; McAndrew, M.H. Topological entropy (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1965. — Vol. 114. — P. 309—319.
• Dmitri Anosov (2001), «T/t093040», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Walters, Peter. An introduction to ergodic theory (неопр.). — Springer-Verlag, 1982. — Т. 79. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95152-0.