Толерантный интервал

Толерантный интервал — термин, используемый в математической статистике при определении на основе выборочных данных интервала, который при заданном доверительным уровне содержит заданную вероятностную меру неизвестной функции распределения.

Понятия толерантного и доверительного интервалов близки друг к другу.

Толерантный интервал является интервалом в выборочном пространстве наблюденных случайных величин. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы при заданном доверительном уровне содержать вероятностную меру статистического распределения, не меньшую заданного уровня.

Доверительный интервал определяется для некоторого параметра функции распределения и является интервалом в параметрическом пространстве. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы вероятность того, что он содержит истинное значение неизвестного параметра была не меньше доверительного уровня.

ОпределениеПравить

Пусть случайная величина $Y$$Y$  не зависит от $X$$X$  и имеет функцию распределения $F_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$F_{\theta }$ . Толерантным интервалом $(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})$$(\beta ,\gamma )$  с мерой $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  и уровнем доверия $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  называется интервал $\left[L_{1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(X),L_{2,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(X)\right]$$\left[L_{1,\beta ,\gamma }(X),L_{2,\beta ,\gamma }(X)\right]$ , для которого выполняется условие $P_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left\{P_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left\{L_{1,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(X)⩽<!--\; ⩽\; -->Y⩽<!--\; ⩽\; -->L_{2,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(X)|X\right\}⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right\}⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$P_{\theta }\left\{P_{\theta }\left\{L_{1,\beta ,\gamma }(X)\leqslant Y\leqslant L_{2,\beta ,\gamma }(X)|X\right\}\geqslant \beta \right\}\geqslant \gamma$  для всех значений параметра $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ .

ПоясненияПравить

Пусть $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  - квантиль функции распределения $F_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$F_{\theta }$  обозначается как $F^{-<!--\; -\; -->1}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->};\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$F^{-1}(\xi ;\theta )$ . По определению имеем $P_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\left\{F^{-<!--\; -\; -->1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->X⩽<!--\; ⩽\; -->F^{-<!--\; -\; -->1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\right\}⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$P_{\theta }\left\{F^{-1}(\xi _{1};\theta )\leqslant X\leqslant F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right\}\geqslant \xi _{2}-\xi _{1}$ . Интервалом меры $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  функции распределения $F_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$F_{\theta }$  называется интервал $\left[F^{-<!--\; -\; -->1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),F^{-<!--\; -\; -->1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\right]$$\left[F^{-1}(\xi _{1};\theta ),F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right]$ , если $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\beta =\xi _{2}-\xi _{1}$ .

См. такжеПравить

• Доверительный интервал

ЛитератураПравить

• Ш. Закс. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975. — 776 с.