Тождество Капелли

Тождество Капелли — аналог матричного соотношения $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)$$\mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \, \mathrm{det}(B)$ для дифференциальных операторов с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$. Используется для соотнесения инварианта $\mathsf{f}$$\mathsf f$ с инвариантом $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\mathsf{f}$$\Omega \mathsf f$, где $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ — это $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$-процесс Кэли^[en]. Названо по имени Альфредо Капелли, установившего этот результат в 1887 году.

ФормулировкаПравить

Пусть $x_{ij}$$x_{ij}$  для $i,j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i, j = 1, \dots , n$  — коммутирующие переменные и $E$$E$  — поляризационный оператор:

$E_{ij}=\underset{a=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_{ia}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ja}}$$E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}}$ .

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:

$\begin{vmatrix} E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\ E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\ E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n}} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{\partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}} \end{vmatrix}.$ 

Обе стороны этого равенства — дифференциальные операторы. Определитель в левой части имеет некоммутирующие элементы, и при разложении сохраняет порядок своих множителей слева направо. Такой определитель часто называют определителем по столбцам^{[неизвестный термин]}, так как он может быть получен за счет разложения определителя по столбцам, начиная с первого столбца. Это может быть формально записано как

$det(A)=\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})A_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(1),1}{A}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(2),2}\cdots <!--\; \cdots \; -->A_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(n),n},$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n),n},$ 

где в произведении первыми идут элементы из первого столбца, затем из второй и так далее. Определитель во втором множителе правой части равенства есть Омега процесс Кэли^[en], а в первом — определитель Капелли.

Операторы E_ij могут быть записаны в матричной форме:

$E=X{D}^t,$$E = X D^t,$ 

где $E,X,D$$E, X, D$  — матрицы с элементами E_ij, x_ij, $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ij}}$$\frac{\partial}{\partial x_{ij}}$  соответственно. Если все элементы в этих матрицах коммутирующие, тогда очевидно $det(E)=det(X)det(D^t)$$\det(E) = \det(X) \det(D^t)$ . Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутируемость формуле выше можно придать смысл. Цена некоммутируемости — небольшая поправка: $(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$(n-i)\delta_{ij}$  в левой части равенства. В общем случае для некоммутирующих матриц такие формулы, как

$det(AB)=det(A)det(B)$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 

не существуют, и само понятие определитель не имеет смысла. Именно поэтому тождество Капелли все ещё несколько загадочно, несмотря на многочисленные его доказательства. По-видимому, очень короткого доказательства не существует. Проверка тождества на прямую может быть сделано в качестве относительно несложного упражнения для n = 2, но уже для n = 3 прямая проверка будет слишком длиной.

Связь теории представленийПравить

При рассмотрении общей ситуации предположим, что $n$$n$  и $m$$m$  два целых числа и $x_{ij}$$x_{ij}$  для $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n,j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m$$i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, m$ , коммутирующие переменные. Переопределим $E_{ij}$$E_{ij}$  почти так же, как раньше:

$E_{ij}=\underset{a=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_{ia}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ja}}$$E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}}$ ,

с той лишь разницей, что индекс суммирования $a$$a$  пробегает значения от $1$$1$  до $m$$m$ . Легко видеть, что такие коммутаторы этих операторов удовлетворяют следующим соотношениям:

$[E_{ij},E_{kl}]={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}{E}_{il}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{il}{E}_{kj}$$[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$ .

Здесь $[a,b]$$[a,b]$  означает коммутатор $ab-<!--\; -\; -->ba$$ab-ba$ . Это те же соотношения, которые выполняются для матриц $e_{ij}$$e_{ij}$ , в которых стоят нули всюду, кроме позиции $(i,j)$$(i,j)$ , где находится 1. (Такие матрицы $e_{ij}$$e_{ij}$  иногда называется матричными единицами). Отсюда заключаем, что отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:e_{ij}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->E_{ij}$$\pi : e_{ij} \mapsto E_{ij}$  определяет Представление алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$  в векторном пространстве многочленов от $x_{ij}$$x_{ij}$ .

Случай m = 1 и представление S^k CⁿПравить

При рассмотрении частного случая m = 1 имеем x_i1, который будем сокращённо записывать как x_i:

$E_{ij}=x_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}.$$E_{ij} = x_i \frac{\partial}{\partial x_j}.$ 

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

$E_{ij}{x}_k={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}{x}_i$$E_{ij} x_k = \delta_{jk} x_i$ .

Поэтому действие $E_{ij}$$E_{ij}$  ограничивается пространством многочленов первой степени точно так же, как действие матричных единиц $e_{ij}$$e_{ij}$  на векторах в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^{n}$ . Таким образом, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первой степени это подпредставление алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$ , которое мы отождествляем с стандартным представлением в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^{n}$ . Далее видно, что дифференциальные операторы $E_{ij}$$E_{ij}$  сохраняют степень многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$ . Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором степени $S^k{\mathbb{C}}^n$$S^k \mathbb{C}^n$  стандартного представления ${\mathbb{C}}^n$${\mathbb C}^{n}$ .

Также может быть определена структура максимального веса^[en] этих представлений. Одночлен $x_1^k$$x^k_1$  — это вектор максимального веса^[en]. Действительно, $E_{ij}{x}_1^k=0$$E_{ij} x^k_1=0$  для i < j. Его максимальный вес равен (k, 0, … ,0), потому что $E_{ii}{x}_1^k=k{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{i1}{x}_1^k$$E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1$ .

Это представление иногда называют бозонным преставлением ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$ . Аналогичные формулы $E_{ij}={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_j}$$E_{ij} = \psi_{i}\frac{\partial}{\partial \psi_{j}}$  определяют так называемое фермионное представление, где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i$$\psi_{i}$  —антикоммутативные переменные. Снова, многочлены степени k образуют неприводимое подпредставление, изоморфное ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^k{\mathbb{C}}^n$$\Lambda^k \mathbb{C}^{n}$ , то есть антисимметричный тензор степени ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^{n}$ . Максимальный вес такого представления (0, …, 0, 1, 0, …, 0). Эти представления при k = 1, …, n являются фундаментальными представлениями ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$ .

Тождество Капелли для m = 1Править

Вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

$det(E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=0,n>1$$\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = 0, \qquad n>1$ .

Основная мотивация для этого равенства следующая: рассмотрим $E_{ij}^c=x_i{p}_j$$E^c_{ij} = x_i p_j$  для некоторых коммутирующий переменных $x_i,p_j$$x_i, p_j$ . Матрица $E^c$$E^{c}$  имеет ранг 1 и, следовательно, её определитель равен нулю. Элементы матрицы $E$$E$  определены аналогичными формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество $det(E^c)=0$$\det(E^{c})=0$  может быть сохранено при введении поправок $(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$(n-i)\delta_{ij}$  к матрице $E$$E$ .

Отметим также, что подобное тождество для характеристического многочлена:

$det(t+E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=t^{[n]}+\mathrm{T}\mathrm{r}(E)t^{[n-<!--\; -\; -->1]},$$\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},$ 

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(t+k-<!--\; -\; -->1)$$t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1)$ . Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты.

Рассмотрим пример для n = 2.

$\begin{align} & \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1+1 & x_1 \partial_2 \\ x_2 \partial_1 & t+ x_2 \partial_2 \end{vmatrix} \\[8pt] & = (t+ x_1 \partial_1+1 ) ( t+ x_2 \partial_2)- x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \\[6pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_1 \partial_1 x_2 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \end{align}$ 

Используя

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1{x}_1=x_1{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1+1,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1{x}_2=x_2{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1,x_1{x}_2=x_2{x}_1$$\partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$ 

мы видим что это равно:

$\begin{align} & {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) +x_2 x_1 \partial_1 \partial_2+x_2 \partial_2 - x_2 x_1 \partial_1 \partial_2 - x_2 \partial_2 \\[8pt] & = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E). \end{align}$ 

Универсальная обёртывающая алгебра $U({\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n)$$U(\mathfrak{gl}_n)$  и её центрПравить

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами E_ij, то есть, коммутаторы $[E_{ij},det(E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})]$$[E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]$  равны нулю.

Это утверждение может быть обобщено следующим образом. Рассмотрим любые элементы E_ij в любом кольце, удовлетворяющие соотношению на коммутатор $[E_{ij},E_{kl}]={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}{E}_{il}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{il}{E}_{kj}$$[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$ , (например, они могут быть дифференциальными операторами, как указано выше, матричными единицами e_ij или любыми другими элементами). Определим элементы C_k следующим образом:

$det(t+E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=t^{[n]}+\underset{k=n-<!--\; -\; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->,0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{t}^{[k]}{C}_k,$$\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},$ 

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(t+k-<!--\; -\; -->1),$$t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),$ 

тогда:

• элементы C_k коммутируют со всем элементами E_ij
• элементы C_k могут быть представлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:

$C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(k-i)\delta_{ij})_{II},$ 

то есть они являются суммами главных миноров матрицы E, по модулю поправок Капелли $+(k-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$+(k-i)\delta_{ij}$ . В частности, элемент C₀ является определителем Капелли, рассмотренным выше.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет показано ниже, и судя по всему, для них также не существует прямого короткого доказательства, несмотря на простоту формулировок.

Универсальная обёртывающая алгебра $U({\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n)$$U(\mathfrak{gl}_n)$  может быть определена как алгебра, генерируемая E_ij связанными только соотношениями

$[E_{ij},E_{kl}]={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}{E}_{il}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{il}{E}_{kj}$$[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}- \delta_{il}E_{kj}$ .

Утверждение выше показывает, что элементы C_k принадлежат центру $U({\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n)$$U(\mathfrak{gl}_n)$ . Более того можно доказать, что они — свободные генераторы центра $U({\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n)$$U(\mathfrak{gl}_n)$ . Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим пример при n = 2.

$\begin{align} {}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\ E_{21} & t+ E_{22} \end{vmatrix} & = (t+ E_{11}+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\ & = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. \end{align}$ 

Непосредственно проверяется, что элемент $(E_{11}+E_{22})$$(E_{11}+E_{22})$  коммутирует с $E_{ij}$$E_{ij}$ . (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с $E_{ij}$$E_{ij}$ . Проведём её для $E_{12}$$E_{12}$ :

$[E_{12},E_{11}{E}_{22}-<!--\; -\; -->E_{21}{E}_{12}+E_{22}]$$[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]$ 

$=[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-<!--\; -\; -->[E_{12},E_{21}]E_{12}-<!--\; -\; -->E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]$$=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] - [E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_{21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]$ 

$=-<!--\; -\; -->E_{12}{E}_{22}+E_{11}{E}_{12}-<!--\; -\; -->(E_{11}-<!--\; -\; -->E_{22})E_{12}-<!--\; -\; -->0+E_{12}$$=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} - (E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}$ 

$=-<!--\; -\; -->E_{12}{E}_{22}+E_{22}{E}_{12}+E_{12}=-<!--\; -\; -->E_{12}+E_{12}=0.$$=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12} +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.$ 

Мы видим, что наивный определитель $E_{11}{E}_{22}-<!--\; -\; -->E_{21}{E}_{12}$$E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$  не коммутирует с $E_{12}$$E_{12}$  и поправка Капелли $+E_{22}$$+E_{22}$  существенна для принадлежности центру.

Произвольное m и дуальные парыПравить

Вернемся к общему случаю:

$E_{ij}=\underset{a=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_{ia}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ja}},$$E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}},$ 

для произвольных n и m. Определение операторов E_ij можно записать в матричном виде: $E=X{D}^t$$E = X D^t$ , где $E$$E$  это $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  матрица с элементами $E_{ij}$$E_{ij}$ ; $X$$X$  это $n\times <!--\; \times \; -->m$$n \times m$  матрица с элементами $x_{ij}$$x_{ij}$ ; $D$$D$  это $n\times <!--\; \times \; -->m$$n \times m$  матрица с элементами $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ij}}$$\frac{\partial}{\partial x_{ij}}$ .

Тождества Капелли-Коши-БинеПравить

Для произвольного m матрица E является произведением двух прямоугольных матриц: X и транспонированой к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда определитель матрицы E может быть выражен так называемой формулой Бине — Коши] через миноры X и D. Аналогичная формула существует и для матрицы E снова за небольшую плату введения поправки $E\to <!--\; \to \; -->(E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})$$E \rightarrow (E+(n-i)\delta_{ij})$ :

$\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_{I})$ ,

В частности (подобно коммутативному случаю): если m<n, то $det(E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=0$$\det(E+(n-i)\delta_{ij}) =0$ ; в случае m=n мы возвращаемся к тождеству выше.

Заметим, что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только определитель чE, но и его миноры через миноры X и D:

$\det(E+(s-i)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det(D^t_{IL})$ ,

Здесь K = (k₁ < k₂ < … < k_s), L = (l₁ < l₂ < … < l_s) — произвольные мульти-индексы; как обычно $M_{KL}$$M_{KL}$  обозначает подматрицу M образуемую элементами M _kalb. Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s, а не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, поправка(s − i) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозиции D. Заметим также, что для произвольных K, L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами E_ij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия из этой формулы и формулы для характеристичного многочлена из предыдущего раздела упомянем следующее:

$det(t+E+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=t^{[n]}+\underset{k=n-<!--\; -\; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->,0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{t}^{[k]}\underset{I,J}{\sum <!--\; \sum \; -->}det(X_{IJ})det(D_{JI}^t),$$\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I,J} \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),$ 

где $I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),$  $J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n)$ . Эта формула аналогична коммутативному случаю, за исключением поправки $+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$+(n-i)\delta_{ij}$  в левой части и замены tⁿ на t^[n] в правой.

Соотношение с дуальными парамиПравить

Современный интерес к этим группам возник, благодаря Роджеру Хоуву^[en], который рассмотрел их в своей теории дуальных пар^[en]. В случае первого ознакомления с этими идеями имеем дело с операторами $E_{ij}$$E_{ij}$ . Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены первой степени: $E_{ij}{x}_{kl}=x_{il}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}$$E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk}$ , мы видим что индекс l сохраняется. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть отождествлены с прямым сложением представлений ${\mathbb{C}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n$ , здесь l-ое подпространство (l=1…m) натянуто на $x_{il}$$x_{il}$ , i = 1, …, n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:

${\mathbb{C}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{C}}^n={\mathbb{C}}^n\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbb{C}}^m.$$\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m .$ 

Такая точка зрения даёт первый намёк на симметрию между m и n. Чтобы взглянуть на эту идею глубже, рассмотрим:

$E_{ij}^{\text{dual}}=\underset{a=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_{ai}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{aj}}.$$E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.$ 

Эти операторы задаются теми же формулами, что и $E_{ij}$$E_{ij}$  за исключением перенумерации $i\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->j$$i \leftrightarrow j$ , следовательно, по тем же самыми аргументами, мы можем заключить, что $E_{ij}^{\text{dual}}$$E_{ij}^\text{dual}$  задаёт представление алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_m$$\mathfrak{gl}_m$  в векторном пространстве многочленов x_ij. Прежде, чем идти дальше, обратим внимание на следующее свойство: дифференциальные операторы $E_{ij}^{\text{dual}}$$E_{ij}^\text{dual}$  коммутируют с дифференциальными операторами $E_{kl}$$E_{kl}$ .

Группа Ли $G{L}_n\times <!--\; \times \; -->G{L}_m$$GL_n \times GL_m$  действует на векторном пространстве ${\mathbb{C}}^n\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbb{C}}^m$$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m$  естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n\times <!--\; \times \; -->{\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_m$$\mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m$  задается дифференциальными операторами $E_{ij}$$E_{ij}$  и $E_{ij}^{\text{dual}}$$E_{ij}^\text{dual}$  соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

Более того, справедливы следующие свойства:

• Дифференциальными операторами, коммутирующими с $E_{ij}$$E_{ij}$ , являются все многочлены в $E_{ij}^{\text{dual}}$$E_{ij}^\text{dual}$ , и только они.
• Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений $G{L}_n$$GL_n$  and $G{L}_m$$GL_m$  может быть задано следующим образом:

$\mathbb{C}[x_{ij}]=S({\mathbb{C}}^n\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbb{C}}^m)=\underset{D}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_n^D\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_m^{D^{\prime }}.$$\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.$ 

Здесь слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, а представления ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^D$$\rho^D$  взаимно неизоморфны. Диаграмма $D$${D}$  определяет $D^{\prime }$${D'}$  и наоборот.

• В частности представление большой группы $G{L}_n\times <!--\; \times \; -->G{L}_m$$GL_n \times GL_m$  такого, что каждое неприводимое представление входит только один раз.

Легко заметить сильное сходство с дуальностью Шура-Вейла^[en]

ОбобщенияПравить

Обобщению тождества Капелли посвятили свои работы ряд физиков и математиков, среди них: Р. Хоув, Б. Констант, филдсовский медалист А. Окуньков, А. Сокал, Д. Зеильбергер.

Предположительно, первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тарнбуллом ещё в 1948 году, который нашёл обобщение для случая симметричных матриц (см. современный обзор в).

Остальные обобщения могут быть разделены на несколько групп. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят из замены алгебры Ли ${\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n$$\mathfrak{gl}_n$  на полупростую группу Ли и их супералгебру^[en] квантовую группу, и последующие развитие такого подхода. Также тождество может быть обобщено для других дуальных пар. И, наконец, можно рассматривать не только определитель матрицы E, но его перманент след его степеней и иммананты. Упомянем ещё несколько работ^{[уточнить]}:. Считалось в течение долгого времени, что тождество глубоко связано с полупростой группой Ли. Однако новое чисто алгебраическое обобщение тождества, которое было найдено в 2008 С. Карасиолло, А. Спортиелло, А. Сокалем, не имеет отношения к алгебре Ли.

Тождество Тёрнбулла для симметричных матрицПравить

Рассмотрим симметричные матрицы

$X=\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ x_{12} & x_{22} & x_{23} &\cdots & x_{2n} \\ x_{13} & x_{23} & x_{33} &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & x_{3n} &\cdots & x_{nn} \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} { \partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] \frac{\partial} {\partial x_{12} } & 2 \frac{\partial} {\partial x_{22}} & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] \frac{\partial} {\partial x_{13} } & \frac{\partial} {\partial x_{23}} & 2\frac{\partial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \frac{\partial} {\partial x_{1n} } & \frac{\partial} {\partial x_{2n}} & \frac{\partial} { \partial x_{3n}} &\cdots & 2 \frac{\partial}{\partial x_{nn} } \end{vmatrix}$ 

Герберт Тёрнбулл в 1948 году открыл следующее равенство:

$det(XD+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=det(X)det(D)$$\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)$ 

Комбинаторное доказательство можно найти в работе, ещё одно доказательство и интересные^{[уточнить]} обобщения в работе, см. также обсуждение ниже.

Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матрицПравить

Рассмотрим антисимметричные матрицы

$X=\begin{vmatrix} 0 & x_{12} & x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ -x_{12} & 0 & x_{23} &\cdots & x_{2n} \\ -x_{13} & -x_{23} & 0 &\cdots & x_{3n} \\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ -x_{1n} & -x_{2n} & -x_{3n} &\cdots & 0 \end{vmatrix}, D=\begin{vmatrix} 0 & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} {\partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt] -\frac{\partial} { \partial x_{12} } & 0 & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{13} } & -\frac{\partial} {\partial x_{23}} & 0 &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt] \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\[6pt] -\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & -\frac{\partial} {\partial x_{2n}} & -\frac{\partial} {\partial x_{3n}} &\cdots & 0 \end{vmatrix}.$ 

Тогда

$det(XD+(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})=det(X)det(D).$$\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).$ 

Тождество Карасиолло — Спортиелло — Сокала для матриц МанинаПравить

Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которые удовлетворяет условию

$[M_{ij},Y_{kl}]=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}{Q}_{il}$$[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}$ 

для некоторых элементов Q_il. Иными словами элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-го ряда Y когда $j\ne <!--\; \ne \; -->k$$j\neq k$ , а в случае, когда $j=k$$j=k$ , коммутатор элементов M_ik и Y_kl зависит только от i, l, но не от k.

Предположим, что M это матрица Манина^[en] (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

$det(MY+Q\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-<!--\; -\; -->1,n-<!--\; -\; -->2,\dots <!--\; \dots \; -->,1,0))=det(M)det(Y)$$\det(MY+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots , 1,0) ) = \det(M) \det(Y)$ 

Здесь Q это матрица с элементами Q_il, и diag(n − 1, n − 2, …, 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, …, 1, 0 на диагонали.

См. предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их B.

Очевидно, оригинальное тождество Каппели — частный случай этого тождества. Кроме того, из этого тождества видно, что в первоначальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{ij}}+f_{ij}(x_{11},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{kl},\dots <!--\; \dots \; -->)$$\frac{\partial} {\partial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\dots,x_{kl},\dots)$ 

для произвольных функций f_ij и тождество продолжает оставаться верным.

Тождество Мухина — Тарасова — Варченко и модель ГоденаПравить

ФормулировкаПравить

Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, то есть с элементами $x_{ij}$$x_{ij}$  и ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{ij}$$\partial_{ij}$  на позиции (ij).

Пусть z — другая формальная переменная (коммутирующая с x). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементы которых комплексные числа.

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z}-<!--\; -\; -->A-<!--\; -\; -->X\frac{1}{z-<!--\; -\; -->B}{D}^t\right)$$\det\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{z-B} D^t \right)$ 

$={det}_{\text{Поместить все }x\text{ и }z\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}$$={\det}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ и }z\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}$ 

$\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z}-<!--\; -\; -->A-<!--\; -\; -->X\frac{1}{z-<!--\; -\; -->B}{D}^t\right)$$\left( \frac{\partial}{\partial_z} - A - X \frac{1}{z-B} D^t \right)$ 

Здесь первый определитель следует понимать, как всегда, как определитель по столбцам матрицы с некоммутативными записями. Второй определитель должен быть вычислен, помещающая (как будто все элементы коммутативны) все x и z слева, а все дифференцирования справа (такой рецепт называется нормальным порядком^[en] в квантовой механике).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема ТалалаеваПравить

Матрица

$L(z)=A+X\frac{1}{z-<!--\; -\; -->B}{D}^t$$L(z) = A + X \frac{1}{z-B} D^t$ 

это матрица Лакса^[en] для квантовой интегрируемой системы спиновая цепочка^{[неизвестный термин]} Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.

Положим

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z}-<!--\; -\; -->L(z)\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{H}_i(z){\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z}\right)}^i.$$\det\left(\frac{\partial}{\partial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\partial}{\partial_z}\right)^i.$ 

Тогда для всех i, j, z, w

$[H_i(z),H_j(w)]=0,$$[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,$ 

то есть H_i(z) генерируют функции от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.

Перманенты, иммананты, след матрицы — «более высокие тождества Капелли»Править

Оригинальное тождество Капелли является утверждением об определителях. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы. Основанная на комбинаторном подходе, статья С. Г. Уильямсона была один из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тёрнбулла для перманент антисимметричных матрицПравить

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами x_ij и соответствующими производными, как в случае Хоув-Умеда-Констант-Сахи выше^[⇨].

Тогда

$\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(X^{t}D-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->i){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij})={\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}_{\text{Поместить все }x\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}^{\text{рассчитать, как будто все коммутируют}}(X^{t}D).$$\mathrm{perm}(X^tD -(n-i)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}} ( X^t D).$ 

Процитируем: «…говорится без доказательства в конце работы Тёрнбулла». Сами авторы следуют Тёрнбуллу — в самом конце их работы они пишут:

«Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тёрнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного упражнения для читателя».

Это равенство анализируется в работе.

СсылкиПравить

• Capelli, Alfredo (1887), Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen, Mathematische Annalen (Berlin / Heidelberg: Springer) . — Т. 29 (3): 331–338, ISSN 1432-1807, DOI 10.1007/BF01447728 
• Howe, Roger (1989), Remarks on classical invariant theory, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) . — Т. 313 (2): 539–570, ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/2001418 
• Howe, Roger & Umeda, Toru (1991), The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions, Mathematische Annalen Т. 290 (1): 565–619, DOI 10.1007/BF01459261 
• Umeda, Tôru (1998), The Capelli identities, a century after, Selected papers on harmonic analysis, groups, and invariants, vol. 183, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., с. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5, <https://books.google.com/books?isbn=0821808400> 
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, <https://books.google.com/?id=zmzKSP2xTtYC>. Проверено 03/2007/26. 
• Umeda, Toru (2000), On Turnbull identity for skew-symmetric matrices, Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988