Тождество Вальда

Тождество Вальда определяет формулу для вычисления математического ожидания для случайных сумм.

Названо в честь венгерского математика Абрахама Вальда.

ФормулировкаПравить

Пусть $X_1,...,X_N$$X_{1},...,X_{N}$  — независимые одинаково распределенные случайные величины. $N$$N$  — также является случайной величиной имеющей дискретное распределение и принимающая положительные целые значения. Далее $X_i$$X_{i}$  и $N$$N$  должны иметь конечное математическое ожидание и $N$$N$  должно быть независимым от $X_i$$X_{i}$ . Тогда

$\mathrm{E}<!--\; \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i\right)=\mathrm{E}<!--\; \; -->(N)\mathrm{E}<!--\; \; -->(X)$$\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)$ .