Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

${\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}$

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример: $(1^2+4^2)(2^2+7^2)={26}^2+{15}^2={30}^2+1^2.$$(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

ИсторияПравить

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр $n$$n$ :

${\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}$ 

Брахмагупта описал тождество в трактате «Брахма-спхута-сиддханта»^[en] («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представлениеПравить

Пусть $a+bi,c+di$$a+bi,c+di$  — комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

$|a+bi|\cdot <!--\; \cdot \; -->|c+di|=|(a+bi)(c+di)|.$$|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.$ 

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

$|a+bi{|}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->|c+di{|}^2=|(ac-<!--\; -\; -->bd)+i(ad+bc){|}^2,$$|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},$ 

или согласно определению модуля:

$(a^2+b^2)\cdot <!--\; \cdot \; -->(c^2+d^2)=(ac-<!--\; -\; -->bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$$(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$ 

ПримененияПравить

Решение уравнения ПелляПравить

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля:

$x^2-<!--\; -\; -->n{y}^2=1,$$x^{2}-ny^{2}=1,$ 

где $n$$n$  — натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде:

$(x_1^2-<!--\; -\; -->A{y}_1^2)(x_2^2-<!--\; -\; -->A{y}_2^2)=(x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2{)}^2-<!--\; -\; -->A(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2,$$(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$ 

Отсюда видно, что если тройки $x_1,y_1,k_1$$x_{1},y_{1},k_{1}$  и $x_2,y_2,k_2$$x_{2},y_{2},k_{2}$  образуют решение уравнения x² − Ay² = k, то можно найти ещё одну тройку

$(x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1,k_1{k}_2)$$(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})$ 

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратовПравить

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида $4m+1$$4m+1$  представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщенияПравить

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или тождества Лагранжа (теория чисел)^[en]. Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

ЛитератураПравить

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Joseph, George G. (2000), [[1] в «Книгах Google» The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2nd ed.), Princeton University Press, с. 306, ISBN 978-0-691-00659-8, <[2] в «Книгах Google»> 
• Stillwell, John (2002), [[3] в «Книгах Google» Mathematics and its history] (2nd ed.), Springer, с. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6, <[4] в «Книгах Google»> 

СсылкиПравить

• Brahmagupta's identity at PlanetMath  (англ.)
• Brahmagupta Identity on MathWorld  (англ.)
• A Collection of Algebraic Identities  (англ.)